Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33757 / 21473
↖ ↑ ↗
← N 76.205312°
W 87.283630°		 ← 72.81 m → N 76.205312°
W 87.280884°		 →
↑
72.82 m
↓
↑
72.82 m
↓
N 76.204657°
W 87.283630°		 ← 72.81 m →
5 302 m²		 N 76.204657°
W 87.280884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.257549285888672 y=0.163829803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.257549285888672 × 217)
    floor (0.257549285888672 × 131072)
    floor (33757.5)     		tx = 33757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163829803466797 × 217)
    floor (0.163829803466797 × 131072)
    floor (21473.5)     		ty = 21473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33757 / 21473 ti = "17/33757/21473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33757/21473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33757 ÷ 217
    33757 ÷ 131072     		x = 0.257545471191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21473 ÷ 217
    21473 ÷ 131072     		y = 0.163825988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.257545471191406 × 2 - 1) × π
    -0.484909057617188 × 3.1415926535     		Λ = -1.52338673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163825988769531 × 2 - 1) × π
    0.672348022460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.11224360795853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52338673} λ = -1.52338673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11224360795853))-π/2
    2×atan(8.26676787985345)-π/2
    2×1.45041496568873-π/2
    2.90082993137746-1.57079632675     		φ = 1.33003360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52338673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.283630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33003360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.205312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33757 KachelY 21473 -1.52338673 1.33003360 -87.283630 76.205312
    Oben rechts KachelX + 1 33758 KachelY 21473 -1.52333880 1.33003360 -87.280884 76.205312
    Unten links KachelX 33757 KachelY + 1 21474 -1.52338673 1.33002217 -87.283630 76.204657
    Unten rechts KachelX + 1 33758 KachelY + 1 21474 -1.52333880 1.33002217 -87.280884 76.204657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33003360-1.33002217) × R
    1.14300000000345e-05 × 6371000     		dl = 72.8205300002196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33003360-1.33002217) × R
    1.14300000000345e-05 × 6371000     		dr = 72.8205300002196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52338673--1.52333880) × cos(1.33003360) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.238443422713616 × 6371000     		do = 72.8115675996852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52338673--1.52333880) × cos(1.33002217) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.23845452301558 × 6371000     		du = 72.8149572104265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33003360)-sin(1.33002217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238443422713616-0.23845452301558)×R²
    abs(-1.52333880--1.52338673)×1.11003019636902e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.11003019636902e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.11003019636902e-05×40589641000000     		ar = 5302.30035956618m²