Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33756 / 23623
↖ ↑ ↗
← N 44.813018°
E  5.427246°		 ← 433.34 m → N 44.813018°
E  5.432739°		 →
↑
433.29 m
↓
↑
433.29 m
↓
N 44.809122°
E  5.427246°		 ← 433.37 m →
187 771 m²		 N 44.809122°
E  5.432739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515083312988281 y=0.360466003417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515083312988281 × 216)
    floor (0.515083312988281 × 65536)
    floor (33756.5)     		tx = 33756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360466003417969 × 216)
    floor (0.360466003417969 × 65536)
    floor (23623.5)     		ty = 23623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33756 / 23623 ti = "16/33756/23623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33756/23623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33756 ÷ 216
    33756 ÷ 65536     		x = 0.51507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23623 ÷ 216
    23623 ÷ 65536     		y = 0.360458374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51507568359375 × 2 - 1) × π
    0.0301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09472331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360458374023438 × 2 - 1) × π
    0.279083251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.876765894050827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09472331} λ = 0.09472331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.876765894050827))-π/2
    2×atan(2.40311519608455)-π/2
    2×1.17646552577937-π/2
    2.35293105155873-1.57079632675     		φ = 0.78213472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09472331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.427246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78213472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.813018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33756 KachelY 23623 0.09472331 0.78213472 5.427246 44.813018
    Oben rechts KachelX + 1 33757 KachelY 23623 0.09481919 0.78213472 5.432739 44.813018
    Unten links KachelX 33756 KachelY + 1 23624 0.09472331 0.78206671 5.427246 44.809122
    Unten rechts KachelX + 1 33757 KachelY + 1 23624 0.09481919 0.78206671 5.432739 44.809122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78213472-0.78206671) × R
    6.80099999998962e-05 × 6371000     		dl = 433.291709999339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78213472-0.78206671) × R
    6.80099999998962e-05 × 6371000     		dr = 433.291709999339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09472331-0.09481919) × cos(0.78213472) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.70941061468441 × 6371000     		do = 433.344523907649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09472331-0.09481919) × cos(0.78206671) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.709458546180041 × 6371000     		du = 433.373802932693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78213472)-sin(0.78206671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70941061468441-0.709458546180041)×R²
    abs(0.09481919-0.09472331)×4.79314956308707e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79314956308707e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79314956308707e-05×40589641000000     		ar = 187770.933034265m²