Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33755 / 23603
↖ ↑ ↗
← N 44.890904°
E  5.421753°		 ← 432.71 m → N 44.890904°
E  5.427246°		 →
↑
432.72 m
↓
↑
432.72 m
↓
N 44.887013°
E  5.421753°		 ← 432.74 m →
187 250 m²		 N 44.887013°
E  5.427246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515068054199219 y=0.360160827636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515068054199219 × 216)
    floor (0.515068054199219 × 65536)
    floor (33755.5)     		tx = 33755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360160827636719 × 216)
    floor (0.360160827636719 × 65536)
    floor (23603.5)     		ty = 23603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33755 / 23603 ti = "16/33755/23603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33755/23603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33755 ÷ 216
    33755 ÷ 65536     		x = 0.515060424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23603 ÷ 216
    23603 ÷ 65536     		y = 0.360153198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515060424804688 × 2 - 1) × π
    0.030120849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09462744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360153198242188 × 2 - 1) × π
    0.279693603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.878683370035629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09462744} λ = 0.09462744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.878683370035629))-π/2
    2×atan(2.4077275323706)-π/2
    2×1.17714520510274-π/2
    2.35429041020549-1.57079632675     		φ = 0.78349408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09462744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.421753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78349408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.890904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33755 KachelY 23603 0.09462744 0.78349408 5.421753 44.890904
    Oben rechts KachelX + 1 33756 KachelY 23603 0.09472331 0.78349408 5.427246 44.890904
    Unten links KachelX 33755 KachelY + 1 23604 0.09462744 0.78342616 5.421753 44.887013
    Unten rechts KachelX + 1 33756 KachelY + 1 23604 0.09472331 0.78342616 5.427246 44.887013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78349408-0.78342616) × R
    6.79199999999991e-05 × 6371000     		dl = 432.718319999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78349408-0.78342616) × R
    6.79199999999991e-05 × 6371000     		dr = 432.718319999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09462744-0.09472331) × cos(0.78349408) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.70845188883596 × 6371000     		do = 432.713749334457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09462744-0.09472331) × cos(0.78342616) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.708499822360578 × 6371000     		du = 432.743026545067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78349408)-sin(0.78342616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70845188883596-0.708499822360578)×R²
    abs(0.09472331-0.09462744)×4.79335246184043e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.79335246184043e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.79335246184043e-05×40589641000000     		ar = 187249.501117624m²