Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33754 / 23604
↖ ↑ ↗
← N 44.887013°
E  5.416260°		 ← 432.74 m → N 44.887013°
E  5.421753°		 →
↑
432.78 m
↓
↑
432.78 m
↓
N 44.883120°
E  5.416260°		 ← 432.77 m →
187 290 m²		 N 44.883120°
E  5.421753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515052795410156 y=0.360176086425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515052795410156 × 216)
    floor (0.515052795410156 × 65536)
    floor (33754.5)     		tx = 33754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360176086425781 × 216)
    floor (0.360176086425781 × 65536)
    floor (23604.5)     		ty = 23604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33754 / 23604 ti = "16/33754/23604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33754/23604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33754 ÷ 216
    33754 ÷ 65536     		x = 0.515045166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23604 ÷ 216
    23604 ÷ 65536     		y = 0.36016845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515045166015625 × 2 - 1) × π
    0.03009033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09453157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36016845703125 × 2 - 1) × π
    0.2796630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.878587496236389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09453157} λ = 0.09453157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.878587496236389))-π/2
    2×atan(2.40749670544984)-π/2
    2×1.17711124296681-π/2
    2.35422248593363-1.57079632675     		φ = 0.78342616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09453157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.416260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78342616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.887013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33754 KachelY 23604 0.09453157 0.78342616 5.416260 44.887013
    Oben rechts KachelX + 1 33755 KachelY 23604 0.09462744 0.78342616 5.421753 44.887013
    Unten links KachelX 33754 KachelY + 1 23605 0.09453157 0.78335823 5.416260 44.883120
    Unten rechts KachelX + 1 33755 KachelY + 1 23605 0.09462744 0.78335823 5.421753 44.883120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78342616-0.78335823) × R
    6.79299999999383e-05 × 6371000     		dl = 432.782029999607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78342616-0.78335823) × R
    6.79299999999383e-05 × 6371000     		dr = 432.782029999607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09453157-0.09462744) × cos(0.78342616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.708499822360578 × 6371000     		do = 432.743026545004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09453157-0.09462744) × cos(0.78335823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.708547759673426 × 6371000     		du = 432.772306069418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78342616)-sin(0.78335823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708499822360578-0.708547759673426)×R²
    abs(0.09462744-0.09453157)×4.79373128478011e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79373128478011e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79373128478011e-05×40589641000000     		ar = 187289.74139429m²