Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33753 / 23591
↖ ↑ ↗
← N 44.937585°
E  5.410766°		 ← 432.41 m → N 44.937585°
E  5.416260°		 →
↑
432.40 m
↓
↑
432.40 m
↓
N 44.933697°
E  5.410766°		 ← 432.44 m →
186 979 m²		 N 44.933697°
E  5.416260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515037536621094 y=0.359977722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515037536621094 × 216)
    floor (0.515037536621094 × 65536)
    floor (33753.5)     		tx = 33753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359977722167969 × 216)
    floor (0.359977722167969 × 65536)
    floor (23591.5)     		ty = 23591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33753 / 23591 ti = "16/33753/23591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33753/23591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33753 ÷ 216
    33753 ÷ 65536     		x = 0.515029907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23591 ÷ 216
    23591 ÷ 65536     		y = 0.359970092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515029907226562 × 2 - 1) × π
    0.030059814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09443569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359970092773438 × 2 - 1) × π
    0.280059814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.879833855626511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09443569} λ = 0.09443569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.879833855626511))-π/2
    2×atan(2.41049918226928)-π/2
    2×1.17755257149508-π/2
    2.35510514299017-1.57079632675     		φ = 0.78430882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09443569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.410766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78430882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.937585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33753 KachelY 23591 0.09443569 0.78430882 5.410766 44.937585
    Oben rechts KachelX + 1 33754 KachelY 23591 0.09453157 0.78430882 5.416260 44.937585
    Unten links KachelX 33753 KachelY + 1 23592 0.09443569 0.78424095 5.410766 44.933697
    Unten rechts KachelX + 1 33754 KachelY + 1 23592 0.09453157 0.78424095 5.416260 44.933697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78430882-0.78424095) × R
    6.78699999999699e-05 × 6371000     		dl = 432.399769999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78430882-0.78424095) × R
    6.78699999999699e-05 × 6371000     		dr = 432.399769999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09443569-0.09453157) × cos(0.78430882) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.707876643586759 × 6371000     		do = 432.407495392371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09443569-0.09453157) × cos(0.78424095) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.707924580986091 × 6371000     		du = 432.4367780237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78430882)-sin(0.78424095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707876643586759-0.707924580986091)×R²
    abs(0.09453157-0.09443569)×4.79373993322874e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79373993322874e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79373993322874e-05×40589641000000     		ar = 186979.232527364m²