Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33751 / 19641
↖ ↑ ↗
← N 77.355279°
W 87.300110°		 ← 66.85 m → N 77.355279°
W 87.297363°		 →
↑
66.83 m
↓
↑
66.83 m
↓
N 77.354678°
W 87.300110°		 ← 66.85 m →
4 467 m²		 N 77.354678°
W 87.297363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.257503509521484 y=0.149852752685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.257503509521484 × 217)
    floor (0.257503509521484 × 131072)
    floor (33751.5)     		tx = 33751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149852752685547 × 217)
    floor (0.149852752685547 × 131072)
    floor (19641.5)     		ty = 19641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33751 / 19641 ti = "17/33751/19641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33751/19641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33751 ÷ 217
    33751 ÷ 131072     		x = 0.257499694824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19641 ÷ 217
    19641 ÷ 131072     		y = 0.149848937988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.257499694824219 × 2 - 1) × π
    -0.485000610351562 × 3.1415926535     		Λ = -1.52367435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149848937988281 × 2 - 1) × π
    0.700302124023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.20006400806248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52367435} λ = -1.52367435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20006400806248))-π/2
    2×atan(9.02559119155033)-π/2
    2×1.46045031917944-π/2
    2.92090063835888-1.57079632675     		φ = 1.35010431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52367435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.300110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35010431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.355279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33751 KachelY 19641 -1.52367435 1.35010431 -87.300110 77.355279
    Oben rechts KachelX + 1 33752 KachelY 19641 -1.52362642 1.35010431 -87.297363 77.355279
    Unten links KachelX 33751 KachelY + 1 19642 -1.52367435 1.35009382 -87.300110 77.354678
    Unten rechts KachelX + 1 33752 KachelY + 1 19642 -1.52362642 1.35009382 -87.297363 77.354678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35010431-1.35009382) × R
    1.04900000001962e-05 × 6371000     		dl = 66.8317900012498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35010431-1.35009382) × R
    1.04900000001962e-05 × 6371000     		dr = 66.8317900012498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52367435--1.52362642) × cos(1.35010431) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.218904908198312 × 6371000     		do = 66.845247144441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52367435--1.52362642) × cos(1.35009382) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.218915143763875 × 6371000     		du = 66.8483726975197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35010431)-sin(1.35009382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218904908198312-0.218915143763875)×R²
    abs(-1.52362642--1.52367435)×1.02355655634823e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02355655634823e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02355655634823e-05×40589641000000     		ar = 4467.49196304004m²