Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3375 / 787
↖ ↑ ↗
← N 80.963004°
W 31.684570°		 ← 767.53 m → N 80.963004°
W 31.640625°		 →
↑
767.83 m
↓
↑
767.83 m
↓
N 80.956099°
W 31.684570°		 ← 768.11 m →
589 560 m²		 N 80.956099°
W 31.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41204833984375 y=0.09613037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41204833984375 × 213)
    floor (0.41204833984375 × 8192)
    floor (3375.5)     		tx = 3375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09613037109375 × 213)
    floor (0.09613037109375 × 8192)
    floor (787.5)     		ty = 787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3375 / 787 ti = "13/3375/787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3375/787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3375 ÷ 213
    3375 ÷ 8192     		x = 0.4119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 787 ÷ 213
    787 ÷ 8192     		y = 0.0960693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55300007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0960693359375 × 2 - 1) × π
    0.807861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53797121348425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55300007} λ = -0.55300007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53797121348425))-π/2
    2×atan(12.6539727023089)-π/2
    2×1.4919336599729-π/2
    2.9838673199458-1.57079632675     		φ = 1.41307099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55300007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.684570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41307099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.963004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3375 KachelY 787 -0.55300007 1.41307099 -31.684570 80.963004
    Oben rechts KachelX + 1 3376 KachelY 787 -0.55223308 1.41307099 -31.640625 80.963004
    Unten links KachelX 3375 KachelY + 1 788 -0.55300007 1.41295047 -31.684570 80.956099
    Unten rechts KachelX + 1 3376 KachelY + 1 788 -0.55223308 1.41295047 -31.640625 80.956099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41307099-1.41295047) × R
    0.000120520000000068 × 6371000     		dl = 767.832920000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41307099-1.41295047) × R
    0.000120520000000068 × 6371000     		dr = 767.832920000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55300007--0.55223308) × cos(1.41307099) × R
    0.000766989999999912 × 0.157072186810768 × 6371000     		do = 767.532186896359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55300007--0.55223308) × cos(1.41295047) × R
    0.000766989999999912 × 0.157191209669962 × 6371000     		du = 768.113791299162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41307099)-sin(1.41295047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157072186810768-0.157191209669962)×R²
    abs(-0.55223308--0.55300007)×0.000119022859193157×R²
    0.000766989999999912×0.000119022859193157×6371000²
    0.000766989999999912×0.000119022859193157×40589641000000     		ar = 589559.768476259m²