Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3375 / 1301
↖ ↑ ↗
← N 54.724620°
E116.630860°		 ← 5 643.97 m → N 54.724620°
E116.718750°		 →
↑
5 647.45 m
↓
↑
5 647.45 m
↓
N 54.673831°
E116.630860°		 ← 5 651.04 m →
31 893 962 m²		 N 54.673831°
E116.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8240966796875 y=0.3177490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8240966796875 × 212)
    floor (0.8240966796875 × 4096)
    floor (3375.5)     		tx = 3375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3177490234375 × 212)
    floor (0.3177490234375 × 4096)
    floor (1301.5)     		ty = 1301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3375 / 1301 ti = "12/3375/1301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3375/1301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3375 ÷ 212
    3375 ÷ 4096     		x = 0.823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1301 ÷ 212
    1301 ÷ 4096     		y = 0.317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823974609375 × 2 - 1) × π
    0.64794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03559251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317626953125 × 2 - 1) × π
    0.36474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14588364851782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03559251} λ = 2.03559251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14588364851782))-π/2
    2×atan(3.14521939771157)-π/2
    2×1.2629605655404-π/2
    2.5259211310808-1.57079632675     		φ = 0.95512480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03559251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.630860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95512480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.724620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3375 KachelY 1301 2.03559251 0.95512480 116.630860 54.724620
    Oben rechts KachelX + 1 3376 KachelY 1301 2.03712649 0.95512480 116.718750 54.724620
    Unten links KachelX 3375 KachelY + 1 1302 2.03559251 0.95423837 116.630860 54.673831
    Unten rechts KachelX + 1 3376 KachelY + 1 1302 2.03712649 0.95423837 116.718750 54.673831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95512480-0.95423837) × R
    0.000886429999999994 × 6371000     		dl = 5647.44552999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95512480-0.95423837) × R
    0.000886429999999994 × 6371000     		dr = 5647.44552999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03559251-2.03712649) × cos(0.95512480) × R
    0.00153398000000005 × 0.577506877409919 × 6371000     		do = 5643.96696278501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03559251-2.03712649) × cos(0.95423837) × R
    0.00153398000000005 × 0.578230319306918 × 6371000     		du = 5651.03715073579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95512480)-sin(0.95423837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577506877409919-0.578230319306918)×R²
    abs(2.03712649-2.03559251)×0.000723441896999577×R²
    0.00153398000000005×0.000723441896999577×6371000²
    0.00153398000000005×0.000723441896999577×40589641000000     		ar = 31893962.3345285m²