Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3374 / 832
↖ ↑ ↗
← N 80.647035°
W 31.728515°		 ← 794.13 m → N 80.647035°
W 31.684570°		 →
↑
794.46 m
↓
↑
794.46 m
↓
N 80.639890°
W 31.728515°		 ← 794.73 m →
631 149 m²		 N 80.639890°
W 31.684570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41192626953125 y=0.10162353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41192626953125 × 213)
    floor (0.41192626953125 × 8192)
    floor (3374.5)     		tx = 3374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10162353515625 × 213)
    floor (0.10162353515625 × 8192)
    floor (832.5)     		ty = 832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3374 / 832 ti = "13/3374/832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3374/832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3374 ÷ 213
    3374 ÷ 8192     		x = 0.411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 832 ÷ 213
    832 ÷ 8192     		y = 0.1015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.17626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55376706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1015625 × 2 - 1) × π
    0.796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50345664575781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55376706} λ = -0.55376706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50345664575781))-π/2
    2×atan(12.2246773913586)-π/2
    2×1.4891763075478-π/2
    2.9783526150956-1.57079632675     		φ = 1.40755629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55376706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.728515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40755629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.647035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3374 KachelY 832 -0.55376706 1.40755629 -31.728515 80.647035
    Oben rechts KachelX + 1 3375 KachelY 832 -0.55300007 1.40755629 -31.684570 80.647035
    Unten links KachelX 3374 KachelY + 1 833 -0.55376706 1.40743159 -31.728515 80.639890
    Unten rechts KachelX + 1 3375 KachelY + 1 833 -0.55300007 1.40743159 -31.684570 80.639890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40755629-1.40743159) × R
    0.000124699999999978 × 6371000     		dl = 794.463699999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40755629-1.40743159) × R
    0.000124699999999978 × 6371000     		dr = 794.463699999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55376706--0.55300007) × cos(1.40755629) × R
    0.000766990000000023 × 0.162516017493157 × 6371000     		do = 794.133428997859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55376706--0.55300007) × cos(1.40743159) × R
    0.000766990000000023 × 0.162639058455692 × 6371000     		du = 794.734667835679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40755629)-sin(1.40743159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162516017493157-0.162639058455692)×R²
    abs(-0.55300007--0.55376706)×0.000123040962534515×R²
    0.000766990000000023×0.000123040962534515×6371000²
    0.000766990000000023×0.000123040962534515×40589641000000     		ar = 631149.014328783m²