Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3373 / 822
↖ ↑ ↗
← N 80.718184°
W 31.772461°		 ← 788.15 m → N 80.718184°
W 31.728515°		 →
↑
788.47 m
↓
↑
788.47 m
↓
N 80.711093°
W 31.772461°		 ← 788.74 m →
621 668 m²		 N 80.711093°
W 31.728515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41180419921875 y=0.10040283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41180419921875 × 213)
    floor (0.41180419921875 × 8192)
    floor (3373.5)     		tx = 3373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10040283203125 × 213)
    floor (0.10040283203125 × 8192)
    floor (822.5)     		ty = 822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3373 / 822 ti = "13/3373/822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3373/822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3373 ÷ 213
    3373 ÷ 8192     		x = 0.4117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 822 ÷ 213
    822 ÷ 8192     		y = 0.100341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4117431640625 × 2 - 1) × π
    -0.176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55453405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100341796875 × 2 - 1) × π
    0.79931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51112654969702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55453405} λ = -0.55453405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51112654969702))-π/2
    2×atan(12.3187999868557)-π/2
    2×1.48979719612814-π/2
    2.97959439225629-1.57079632675     		φ = 1.40879807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55453405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.772461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40879807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.718184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3373 KachelY 822 -0.55453405 1.40879807 -31.772461 80.718184
    Oben rechts KachelX + 1 3374 KachelY 822 -0.55376706 1.40879807 -31.728515 80.718184
    Unten links KachelX 3373 KachelY + 1 823 -0.55453405 1.40867431 -31.772461 80.711093
    Unten rechts KachelX + 1 3374 KachelY + 1 823 -0.55376706 1.40867431 -31.728515 80.711093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40879807-1.40867431) × R
    0.000123759999999917 × 6371000     		dl = 788.474959999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40879807-1.40867431) × R
    0.000123759999999917 × 6371000     		dr = 788.474959999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55453405--0.55376706) × cos(1.40879807) × R
    0.000766990000000023 × 0.161290620847394 × 6371000     		do = 788.145536510748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55453405--0.55376706) × cos(1.40867431) × R
    0.000766990000000023 × 0.161412759216488 × 6371000     		du = 788.742364831777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40879807)-sin(1.40867431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161290620847394-0.161412759216488)×R²
    abs(-0.55376706--0.55453405)×0.000122138369093999×R²
    0.000766990000000023×0.000122138369093999×6371000²
    0.000766990000000023×0.000122138369093999×40589641000000     		ar = 621668.313261596m²