Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3372 / 836
↖ ↑ ↗
← N 80.618424°
W 31.816407°		 ← 796.55 m → N 80.618424°
W 31.772461°		 →
↑
796.82 m
↓
↑
796.82 m
↓
N 80.611258°
W 31.816407°		 ← 797.15 m →
634 949 m²		 N 80.611258°
W 31.772461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41168212890625 y=0.10211181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41168212890625 × 213)
    floor (0.41168212890625 × 8192)
    floor (3372.5)     		tx = 3372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10211181640625 × 213)
    floor (0.10211181640625 × 8192)
    floor (836.5)     		ty = 836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3372 / 836 ti = "13/3372/836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3372/836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3372 ÷ 213
    3372 ÷ 8192     		x = 0.41162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 836 ÷ 213
    836 ÷ 8192     		y = 0.10205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55530105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10205078125 × 2 - 1) × π
    0.7958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50038868418213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55530105} λ = -0.55530105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50038868418213))-π/2
    2×atan(12.1872300237617)-π/2
    2×1.48892663339392-π/2
    2.97785326678783-1.57079632675     		φ = 1.40705694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55530105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.816407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40705694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.618424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3372 KachelY 836 -0.55530105 1.40705694 -31.816407 80.618424
    Oben rechts KachelX + 1 3373 KachelY 836 -0.55453405 1.40705694 -31.772461 80.618424
    Unten links KachelX 3372 KachelY + 1 837 -0.55530105 1.40693187 -31.816407 80.611258
    Unten rechts KachelX + 1 3373 KachelY + 1 837 -0.55453405 1.40693187 -31.772461 80.611258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40705694-1.40693187) × R
    0.000125069999999949 × 6371000     		dl = 796.820969999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40705694-1.40693187) × R
    0.000125069999999949 × 6371000     		dr = 796.820969999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55530105--0.55453405) × cos(1.40705694) × R
    0.000766999999999962 × 0.163008708804902 × 6371000     		do = 796.551347071515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55530105--0.55453405) × cos(1.40693187) × R
    0.000766999999999962 × 0.163132104672143 × 6371000     		du = 797.154328010353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40705694)-sin(1.40693187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163008708804902-0.163132104672143)×R²
    abs(-0.55453405--0.55530105)×0.000123395867241083×R²
    0.000766999999999962×0.000123395867241083×6371000²
    0.000766999999999962×0.000123395867241083×40589641000000     		ar = 634949.051782989m²