Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3372 / 1317
↖ ↑ ↗
← N 53.904338°
E116.367187°		 ← 5 757.61 m → N 53.904338°
E116.455078°		 →
↑
5 761.17 m
↓
↑
5 761.17 m
↓
N 53.852527°
E116.367187°		 ← 5 764.75 m →
33 191 125 m²		 N 53.852527°
E116.455078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8233642578125 y=0.3216552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8233642578125 × 212)
    floor (0.8233642578125 × 4096)
    floor (3372.5)     		tx = 3372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3216552734375 × 212)
    floor (0.3216552734375 × 4096)
    floor (1317.5)     		ty = 1317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3372 / 1317 ti = "12/3372/1317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3372/1317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3372 ÷ 212
    3372 ÷ 4096     		x = 0.8232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1317 ÷ 212
    1317 ÷ 4096     		y = 0.321533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8232421875 × 2 - 1) × π
    0.646484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03099056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321533203125 × 2 - 1) × π
    0.35693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12133995591235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03099056} λ = 2.03099056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12133995591235))-π/2
    2×atan(3.0689637254776)-π/2
    2×1.25580225435571-π/2
    2.51160450871142-1.57079632675     		φ = 0.94080818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03099056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.367187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94080818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.904338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3372 KachelY 1317 2.03099056 0.94080818 116.367187 53.904338
    Oben rechts KachelX + 1 3373 KachelY 1317 2.03252454 0.94080818 116.455078 53.904338
    Unten links KachelX 3372 KachelY + 1 1318 2.03099056 0.93990390 116.367187 53.852527
    Unten rechts KachelX + 1 3373 KachelY + 1 1318 2.03252454 0.93990390 116.455078 53.852527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94080818-0.93990390) × R
    0.00090427999999998 × 6371000     		dl = 5761.16787999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94080818-0.93990390) × R
    0.00090427999999998 × 6371000     		dr = 5761.16787999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03099056-2.03252454) × cos(0.94080818) × R
    0.00153398000000005 × 0.589135180185098 × 6371000     		do = 5757.61020975501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03099056-2.03252454) × cos(0.93990390) × R
    0.00153398000000005 × 0.58986562864102 × 6371000     		du = 5764.74887271212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94080818)-sin(0.93990390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589135180185098-0.58986562864102)×R²
    abs(2.03252454-2.03099056)×0.000730448455921962×R²
    0.00153398000000005×0.000730448455921962×6371000²
    0.00153398000000005×0.000730448455921962×40589641000000     		ar = 33191124.7856274m²