Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3371 / 1319
↖ ↑ ↗
← N 53.800651°
E116.279297°		 ← 5 771.89 m → N 53.800651°
E116.367187°		 →
↑
5 775.50 m
↓
↑
5 775.50 m
↓
N 53.748711°
E116.279297°		 ← 5 779.04 m →
33 356 216 m²		 N 53.748711°
E116.367187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8231201171875 y=0.3221435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8231201171875 × 212)
    floor (0.8231201171875 × 4096)
    floor (3371.5)     		tx = 3371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3221435546875 × 212)
    floor (0.3221435546875 × 4096)
    floor (1319.5)     		ty = 1319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3371 / 1319 ti = "12/3371/1319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3371/1319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3371 ÷ 212
    3371 ÷ 4096     		x = 0.822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1319 ÷ 212
    1319 ÷ 4096     		y = 0.322021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822998046875 × 2 - 1) × π
    0.64599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02945658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322021484375 × 2 - 1) × π
    0.35595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11827199433667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02945658} λ = 2.02945658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11827199433667))-π/2
    2×atan(3.05956269107068)-π/2
    2×1.25489741170565-π/2
    2.50979482341129-1.57079632675     		φ = 0.93899850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02945658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.279297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93899850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.800651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3371 KachelY 1319 2.02945658 0.93899850 116.279297 53.800651
    Oben rechts KachelX + 1 3372 KachelY 1319 2.03099056 0.93899850 116.367187 53.800651
    Unten links KachelX 3371 KachelY + 1 1320 2.02945658 0.93809197 116.279297 53.748711
    Unten rechts KachelX + 1 3372 KachelY + 1 1320 2.03099056 0.93809197 116.367187 53.748711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93899850-0.93809197) × R
    0.000906529999999961 × 6371000     		dl = 5775.50262999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93899850-0.93809197) × R
    0.000906529999999961 × 6371000     		dr = 5775.50262999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02945658-2.03099056) × cos(0.93899850) × R
    0.0015339799999996 × 0.590596498554121 × 6371000     		do = 5771.89165456292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02945658-2.03099056) × cos(0.93809197) × R
    0.0015339799999996 × 0.591327795594016 × 6371000     		du = 5779.0386107198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93899850)-sin(0.93809197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590596498554121-0.591327795594016)×R²
    abs(2.03099056-2.02945658)×0.00073129703989494×R²
    0.0015339799999996×0.00073129703989494×6371000²
    0.0015339799999996×0.00073129703989494×40589641000000     		ar = 33356216.3473729m²