Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3370 / 774
↖ ↑ ↗
← N 81.052297°
W 31.904297°		 ← 760.01 m → N 81.052297°
W 31.860352°		 →
↑
760.25 m
↓
↑
760.25 m
↓
N 81.045460°
W 31.904297°		 ← 760.59 m →
578 018 m²		 N 81.045460°
W 31.860352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41143798828125 y=0.09454345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41143798828125 × 213)
    floor (0.41143798828125 × 8192)
    floor (3370.5)     		tx = 3370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09454345703125 × 213)
    floor (0.09454345703125 × 8192)
    floor (774.5)     		ty = 774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3370 / 774 ti = "13/3370/774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3370/774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3370 ÷ 213
    3370 ÷ 8192     		x = 0.411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 774 ÷ 213
    774 ÷ 8192     		y = 0.094482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.17724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55683503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094482421875 × 2 - 1) × π
    0.81103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54794208860522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55683503} λ = -0.55683503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54794208860522))-π/2
    2×atan(12.7807749982992)-π/2
    2×1.49271289034017-π/2
    2.98542578068034-1.57079632675     		φ = 1.41462945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55683503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.904297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41462945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.052297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3370 KachelY 774 -0.55683503 1.41462945 -31.904297 81.052297
    Oben rechts KachelX + 1 3371 KachelY 774 -0.55606804 1.41462945 -31.860352 81.052297
    Unten links KachelX 3370 KachelY + 1 775 -0.55683503 1.41451012 -31.904297 81.045460
    Unten rechts KachelX + 1 3371 KachelY + 1 775 -0.55606804 1.41451012 -31.860352 81.045460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41462945-1.41451012) × R
    0.000119329999999973 × 6371000     		dl = 760.251429999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41462945-1.41451012) × R
    0.000119329999999973 × 6371000     		dr = 760.251429999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55683503--0.55606804) × cos(1.41462945) × R
    0.000766990000000023 × 0.155532881655793 × 6371000     		do = 760.01038258542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55683503--0.55606804) × cos(1.41451012) × R
    0.000766990000000023 × 0.155650758387442 × 6371000     		du = 760.586386443668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41462945)-sin(1.41451012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155532881655793-0.155650758387442)×R²
    abs(-0.55606804--0.55683503)×0.000117876731648425×R²
    0.000766990000000023×0.000117876731648425×6371000²
    0.000766990000000023×0.000117876731648425×40589641000000     		ar = 578017.934737806m²