Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 337 / 140
↖ ↑ ↗
← N 82.402423°
W120.761719°		 ← 2 584.26 m → N 82.402423°
W120.585937°		 →
↑
2 588.16 m
↓
↑
2 588.16 m
↓
N 82.379148°
W120.761719°		 ← 2 592.13 m →
6 698 652 m²		 N 82.379148°
W120.585937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164794921875 y=0.068603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164794921875 × 211)
    floor (0.164794921875 × 2048)
    floor (337.5)     		tx = 337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.068603515625 × 211)
    floor (0.068603515625 × 2048)
    floor (140.5)     		ty = 140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 337 / 140 ti = "11/337/140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/337/140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 337 ÷ 211
    337 ÷ 2048     		x = 0.16455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 140 ÷ 211
    140 ÷ 2048     		y = 0.068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16455078125 × 2 - 1) × π
    -0.6708984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10768960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.068359375 × 2 - 1) × π
    0.86328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.7120780329043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10768960} λ = -2.10768960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7120780329043))-π/2
    2×atan(15.0605393162767)-π/2
    2×1.50449496406133-π/2
    3.00898992812266-1.57079632675     		φ = 1.43819360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10768960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.761719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43819360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.402423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 337 KachelY 140 -2.10768960 1.43819360 -120.761719 82.402423
    Oben rechts KachelX + 1 338 KachelY 140 -2.10462164 1.43819360 -120.585937 82.402423
    Unten links KachelX 337 KachelY + 1 141 -2.10768960 1.43778736 -120.761719 82.379148
    Unten rechts KachelX + 1 338 KachelY + 1 141 -2.10462164 1.43778736 -120.585937 82.379148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43819360-1.43778736) × R
    0.000406240000000002 × 6371000     		dl = 2588.15504000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43819360-1.43778736) × R
    0.000406240000000002 × 6371000     		dr = 2588.15504000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10768960--2.10462164) × cos(1.43819360) × R
    0.00306796000000009 × 0.132214465332803 × 6371000     		do = 2584.2603907588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10768960--2.10462164) × cos(1.43778736) × R
    0.00306796000000009 × 0.132617128085192 × 6371000     		du = 2592.13082610953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43819360)-sin(1.43778736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132214465332803-0.132617128085192)×R²
    abs(-2.10462164--2.10768960)×0.00040266275238926×R²
    0.00306796000000009×0.00040266275238926×6371000²
    0.00306796000000009×0.00040266275238926×40589641000000     		ar = 6698651.6005985m²