Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33697 / 23582
↖ ↑ ↗
← N 44.972571°
E  5.103149°		 ← 432.10 m → N 44.972571°
E  5.108642°		 →
↑
432.14 m
↓
↑
432.14 m
↓
N 44.968684°
E  5.103149°		 ← 432.13 m →
186 736 m²		 N 44.968684°
E  5.108642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514183044433594 y=0.359840393066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514183044433594 × 216)
    floor (0.514183044433594 × 65536)
    floor (33697.5)     		tx = 33697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359840393066406 × 216)
    floor (0.359840393066406 × 65536)
    floor (23582.5)     		ty = 23582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33697 / 23582 ti = "16/33697/23582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33697/23582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33697 ÷ 216
    33697 ÷ 65536     		x = 0.514175415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23582 ÷ 216
    23582 ÷ 65536     		y = 0.359832763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514175415039062 × 2 - 1) × π
    0.028350830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08906676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359832763671875 × 2 - 1) × π
    0.28033447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.880696719819672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08906676} λ = 0.08906676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880696719819672))-π/2
    2×atan(2.4125800133095)-π/2
    2×1.17785787913403-π/2
    2.35571575826806-1.57079632675     		φ = 0.78491943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08906676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.103149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78491943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.972571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33697 KachelY 23582 0.08906676 0.78491943 5.103149 44.972571
    Oben rechts KachelX + 1 33698 KachelY 23582 0.08916263 0.78491943 5.108642 44.972571
    Unten links KachelX 33697 KachelY + 1 23583 0.08906676 0.78485160 5.103149 44.968684
    Unten rechts KachelX + 1 33698 KachelY + 1 23583 0.08916263 0.78485160 5.108642 44.968684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78491943-0.78485160) × R
    6.7829999999991e-05 × 6371000     		dl = 432.144929999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78491943-0.78485160) × R
    6.7829999999991e-05 × 6371000     		dr = 432.144929999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08906676-0.08916263) × cos(0.78491943) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.707445215775966 × 6371000     		do = 432.098885741024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08906676-0.08916263) × cos(0.78485160) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.70749315423444 × 6371000     		du = 432.128165965173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78491943)-sin(0.78485160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707445215775966-0.70749315423444)×R²
    abs(0.08916263-0.08906676)×4.79384584749498e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.79384584749498e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.79384584749498e-05×40589641000000     		ar = 186735.669453727m²