Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33690 / 23522
↖ ↑ ↗
← N 45.205264°
E  5.064697°		 ← 430.39 m → N 45.205264°
E  5.070191°		 →
↑
430.42 m
↓
↑
430.42 m
↓
N 45.201393°
E  5.064697°		 ← 430.42 m →
185 256 m²		 N 45.201393°
E  5.070191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514076232910156 y=0.358924865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514076232910156 × 216)
    floor (0.514076232910156 × 65536)
    floor (33690.5)     		tx = 33690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358924865722656 × 216)
    floor (0.358924865722656 × 65536)
    floor (23522.5)     		ty = 23522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33690 / 23522 ti = "16/33690/23522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33690/23522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33690 ÷ 216
    33690 ÷ 65536     		x = 0.514068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23522 ÷ 216
    23522 ÷ 65536     		y = 0.358917236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514068603515625 × 2 - 1) × π
    0.02813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08839564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358917236328125 × 2 - 1) × π
    0.28216552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.886449147774078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08839564} λ = 0.08839564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.886449147774078))-π/2
    2×atan(2.42649819932157)-π/2
    2×1.17988850665928-π/2
    2.35977701331855-1.57079632675     		φ = 0.78898069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08839564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.064697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78898069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.205264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33690 KachelY 23522 0.08839564 0.78898069 5.064697 45.205264
    Oben rechts KachelX + 1 33691 KachelY 23522 0.08849152 0.78898069 5.070191 45.205264
    Unten links KachelX 33690 KachelY + 1 23523 0.08839564 0.78891313 5.064697 45.201393
    Unten rechts KachelX + 1 33691 KachelY + 1 23523 0.08849152 0.78891313 5.070191 45.201393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78898069-0.78891313) × R
    6.75600000000776e-05 × 6371000     		dl = 430.424760000494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78898069-0.78891313) × R
    6.75600000000776e-05 × 6371000     		dr = 430.424760000494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08839564-0.08849152) × cos(0.78898069) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.704569020075857 × 6371000     		do = 430.387028675516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08839564-0.08849152) × cos(0.78891313) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.704616961440017 × 6371000     		du = 430.416313728766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78898069)-sin(0.78891313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704569020075857-0.704616961440017)×R²
    abs(0.08849152-0.08839564)×4.79413641595317e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.79413641595317e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.79413641595317e-05×40589641000000     		ar = 185255.5361016m²