Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33690 / 101550
↖ ↑ ↗
← S 69.822576°
W 87.467652°		 ← 105.35 m → S 69.822576°
W 87.464905°		 →
↑
105.31 m
↓
↑
105.31 m
↓
S 69.823523°
W 87.467652°		 ← 105.35 m →
11 094 m²		 S 69.823523°
W 87.464905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.257038116455078 y=0.774768829345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.257038116455078 × 217)
    floor (0.257038116455078 × 131072)
    floor (33690.5)     		tx = 33690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774768829345703 × 217)
    floor (0.774768829345703 × 131072)
    floor (101550.5)     		ty = 101550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33690 / 101550 ti = "17/33690/101550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33690/101550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33690 ÷ 217
    33690 ÷ 131072     		x = 0.257034301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101550 ÷ 217
    101550 ÷ 131072     		y = 0.774765014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.257034301757812 × 2 - 1) × π
    -0.485931396484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.52659851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774765014648438 × 2 - 1) × π
    -0.549530029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7263995029167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52659851} λ = -1.52659851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7263995029167))-π/2
    2×atan(0.177923872471514)-π/2
    2×0.176081240725248-π/2
    0.352162481450496-1.57079632675     		φ = -1.21863385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52659851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.467652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21863385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.822576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33690 KachelY 101550 -1.52659851 -1.21863385 -87.467652 -69.822576
    Oben rechts KachelX + 1 33691 KachelY 101550 -1.52655057 -1.21863385 -87.464905 -69.822576
    Unten links KachelX 33690 KachelY + 1 101551 -1.52659851 -1.21865038 -87.467652 -69.823523
    Unten rechts KachelX + 1 33691 KachelY + 1 101551 -1.52655057 -1.21865038 -87.464905 -69.823523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21863385--1.21865038) × R
    1.65299999999036e-05 × 6371000     		dl = 105.312629999386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21863385--1.21865038) × R
    1.65299999999036e-05 × 6371000     		dr = 105.312629999386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52659851--1.52655057) × cos(-1.21863385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344928375818318 × 6371000     		do = 105.350004431239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52659851--1.52655057) × cos(-1.21865038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344912860233685 × 6371000     		du = 105.345265572321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21863385)-sin(-1.21865038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344928375818318-0.344912860233685)×R²
    abs(-1.52655057--1.52659851)×1.55155846335853e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55155846335853e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55155846335853e-05×40589641000000     		ar = 11094.4365065593m²