Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3369 / 1581
↖ ↑ ↗
← N 37.926867°
E116.103516°		 ← 7 708.89 m → N 37.926867°
E116.191406°		 →
↑
7 712.48 m
↓
↑
7 712.48 m
↓
N 37.857507°
E116.103516°		 ← 7 716.16 m →
59 482 687 m²		 N 37.857507°
E116.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8226318359375 y=0.3861083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8226318359375 × 212)
    floor (0.8226318359375 × 4096)
    floor (3369.5)     		tx = 3369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3861083984375 × 212)
    floor (0.3861083984375 × 4096)
    floor (1581.5)     		ty = 1581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3369 / 1581 ti = "12/3369/1581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3369/1581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3369 ÷ 212
    3369 ÷ 4096     		x = 0.822509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1581 ÷ 212
    1581 ÷ 4096     		y = 0.385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822509765625 × 2 - 1) × π
    0.64501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02638862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.385986328125 × 2 - 1) × π
    0.22802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.716369027922119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02638862} λ = 2.02638862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.716369027922119))-π/2
    2×atan(2.0469871474247)-π/2
    2×1.11637252069628-π/2
    2.23274504139256-1.57079632675     		φ = 0.66194871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02638862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.103516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.66194871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 37.926867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3369 KachelY 1581 2.02638862 0.66194871 116.103516 37.926867
    Oben rechts KachelX + 1 3370 KachelY 1581 2.02792260 0.66194871 116.191406 37.926867
    Unten links KachelX 3369 KachelY + 1 1582 2.02638862 0.66073815 116.103516 37.857507
    Unten rechts KachelX + 1 3370 KachelY + 1 1582 2.02792260 0.66073815 116.191406 37.857507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.66194871-0.66073815) × R
    0.00121055999999997 × 6371000     		dl = 7712.47775999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.66194871-0.66073815) × R
    0.00121055999999997 × 6371000     		dr = 7712.47775999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02638862-2.02792260) × cos(0.66194871) × R
    0.00153398000000005 × 0.788795945327263 × 6371000     		do = 7708.89218804199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02638862-2.02792260) × cos(0.66073815) × R
    0.00153398000000005 × 0.789539444114464 × 6371000     		du = 7716.15839171154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.66194871)-sin(0.66073815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788795945327263-0.789539444114464)×R²
    abs(2.02792260-2.02638862)×0.00074349878720037×R²
    0.00153398000000005×0.00074349878720037×6371000²
    0.00153398000000005×0.00074349878720037×40589641000000     		ar = 59482687.0357159m²