Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 33673 / 101544
↖ ↑ ↗
← S 69.816891°
W 87.514343°		 ← 105.36 m → S 69.816891°
W 87.511597°		 →
↑
105.38 m
↓
↑
105.38 m
↓
S 69.817839°
W 87.514343°		 ← 105.35 m →
11 102 m²		 S 69.817839°
W 87.511597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256908416748047 y=0.774723052978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256908416748047 × 217)
    floor (0.256908416748047 × 131072)
    floor (33673.5)     		tx = 33673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774723052978516 × 217)
    floor (0.774723052978516 × 131072)
    floor (101544.5)     		ty = 101544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33673 / 101544 ti = "17/33673/101544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33673/101544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33673 ÷ 217
    33673 ÷ 131072     		x = 0.256904602050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101544 ÷ 217
    101544 ÷ 131072     		y = 0.77471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256904602050781 × 2 - 1) × π
    -0.486190795898438 × 3.1415926535     		Λ = -1.52741343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.5494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72611188151898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52741343} λ = -1.52741343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72611188151898))-π/2
    2×atan(0.177975054544579)-π/2
    2×0.176130851813024-π/2
    0.352261703626049-1.57079632675     		φ = -1.21853462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52741343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.514343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21853462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33673 KachelY 101544 -1.52741343 -1.21853462 -87.514343 -69.816891
    Oben rechts KachelX + 1 33674 KachelY 101544 -1.52736550 -1.21853462 -87.511597 -69.816891
    Unten links KachelX 33673 KachelY + 1 101545 -1.52741343 -1.21855116 -87.514343 -69.817839
    Unten rechts KachelX + 1 33674 KachelY + 1 101545 -1.52736550 -1.21855116 -87.511597 -69.817839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21853462--1.21855116) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dl = 105.376340000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21853462--1.21855116) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dr = 105.376340000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52741343--1.52736550) × cos(-1.21853462) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345021514276492 × 6371000     		do = 105.356469993208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52741343--1.52736550) × cos(-1.21855116) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345005989871694 × 6371000     		du = 105.351729429444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21853462)-sin(-1.21855116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345021514276492-0.345005989871694)×R²
    abs(-1.52736550--1.52741343)×1.55244047985725e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55244047985725e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55244047985725e-05×40589641000000     		ar = 11101.8294318737m²