Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33671 / 20865
↖ ↑ ↗
← N 76.597908°
W 87.519837°		 ← 70.79 m → N 76.597908°
W 87.517090°		 →
↑
70.78 m
↓
↑
70.78 m
↓
N 76.597272°
W 87.519837°		 ← 70.80 m →
5 011 m²		 N 76.597272°
W 87.517090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256893157958984 y=0.159191131591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256893157958984 × 217)
    floor (0.256893157958984 × 131072)
    floor (33671.5)     		tx = 33671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159191131591797 × 217)
    floor (0.159191131591797 × 131072)
    floor (20865.5)     		ty = 20865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33671 / 20865 ti = "17/33671/20865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33671/20865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33671 ÷ 217
    33671 ÷ 131072     		x = 0.256889343261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20865 ÷ 217
    20865 ÷ 131072     		y = 0.159187316894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256889343261719 × 2 - 1) × π
    -0.486221313476562 × 3.1415926535     		Λ = -1.52750931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159187316894531 × 2 - 1) × π
    0.681625366210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.14138924292753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52750931} λ = -1.52750931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14138924292753))-π/2
    2×atan(8.51125361823944)-π/2
    2×1.45384101487561-π/2
    2.90768202975123-1.57079632675     		φ = 1.33688570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52750931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.519837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33688570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.597908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33671 KachelY 20865 -1.52750931 1.33688570 -87.519837 76.597908
    Oben rechts KachelX + 1 33672 KachelY 20865 -1.52746137 1.33688570 -87.517090 76.597908
    Unten links KachelX 33671 KachelY + 1 20866 -1.52750931 1.33687459 -87.519837 76.597272
    Unten rechts KachelX + 1 33672 KachelY + 1 20866 -1.52746137 1.33687459 -87.517090 76.597272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33688570-1.33687459) × R
    1.11099999999809e-05 × 6371000     		dl = 70.781809999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33688570-1.33687459) × R
    1.11099999999809e-05 × 6371000     		dr = 70.781809999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52750931--1.52746137) × cos(1.33688570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231783416495606 × 6371000     		do = 70.7926215028523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52750931--1.52746137) × cos(1.33687459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231794223927306 × 6371000     		du = 70.7959223706766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33688570)-sin(1.33687459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231783416495606-0.231794223927306)×R²
    abs(-1.52746137--1.52750931)×1.08074316993445e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08074316993445e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08074316993445e-05×40589641000000     		ar = 5010.94670529946m²