Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 33670 / 20864
↖ ↑ ↗
← N 76.598545°
W 87.522583°		 ← 70.77 m → N 76.598545°
W 87.519837°		 →
↑
70.78 m
↓
↑
70.78 m
↓
N 76.597908°
W 87.522583°		 ← 70.78 m →
5 010 m²		 N 76.597908°
W 87.519837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256885528564453 y=0.159183502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256885528564453 × 217)
    floor (0.256885528564453 × 131072)
    floor (33670.5)     		tx = 33670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159183502197266 × 217)
    floor (0.159183502197266 × 131072)
    floor (20864.5)     		ty = 20864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33670 / 20864 ti = "17/33670/20864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33670/20864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33670 ÷ 217
    33670 ÷ 131072     		x = 0.256881713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20864 ÷ 217
    20864 ÷ 131072     		y = 0.1591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256881713867188 × 2 - 1) × π
    -0.486236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.52755724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1591796875 × 2 - 1) × π
    0.681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14143717982715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52755724} λ = -1.52755724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14143717982715))-π/2
    2×atan(8.51166163112914)-π/2
    2×1.4538465702352-π/2
    2.9076931404704-1.57079632675     		φ = 1.33689681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52755724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.522583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33689681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.598545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33670 KachelY 20864 -1.52755724 1.33689681 -87.522583 76.598545
    Oben rechts KachelX + 1 33671 KachelY 20864 -1.52750931 1.33689681 -87.519837 76.598545
    Unten links KachelX 33670 KachelY + 1 20865 -1.52755724 1.33688570 -87.522583 76.597908
    Unten rechts KachelX + 1 33671 KachelY + 1 20865 -1.52750931 1.33688570 -87.519837 76.597908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33689681-1.33688570) × R
    1.11099999999809e-05 × 6371000     		dl = 70.781809999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33689681-1.33688570) × R
    1.11099999999809e-05 × 6371000     		dr = 70.781809999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52755724--1.52750931) × cos(1.33689681) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231772609035297 × 6371000     		do = 70.774554393458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52755724--1.52750931) × cos(1.33688570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.231783416495606 × 6371000     		du = 70.7778545814771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33689681)-sin(1.33688570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231772609035297-0.231783416495606)×R²
    abs(-1.52750931--1.52755724)×1.08074603088759e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.08074603088759e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.08074603088759e-05×40589641000000     		ar = 5009.66785874041m²