Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3367 / 735
↖ ↑ ↗
← N 81.314959°
W 32.036133°		 ← 737.87 m → N 81.314959°
W 31.992188°		 →
↑
738.14 m
↓
↑
738.14 m
↓
N 81.308321°
W 32.036133°		 ← 738.43 m →
544 864 m²		 N 81.308321°
W 31.992188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41107177734375 y=0.08978271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41107177734375 × 213)
    floor (0.41107177734375 × 8192)
    floor (3367.5)     		tx = 3367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08978271484375 × 213)
    floor (0.08978271484375 × 8192)
    floor (735.5)     		ty = 735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3367 / 735 ti = "13/3367/735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3367/735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3367 ÷ 213
    3367 ÷ 8192     		x = 0.4110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 735 ÷ 213
    735 ÷ 8192     		y = 0.0897216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.177978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55913600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0897216796875 × 2 - 1) × π
    0.820556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57785471396814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55913600} λ = -0.55913600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57785471396814))-π/2
    2×atan(13.1688568700781)-π/2
    2×1.49500504866338-π/2
    2.99001009732677-1.57079632675     		φ = 1.41921377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55913600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.036133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41921377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.314959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3367 KachelY 735 -0.55913600 1.41921377 -32.036133 81.314959
    Oben rechts KachelX + 1 3368 KachelY 735 -0.55836901 1.41921377 -31.992188 81.314959
    Unten links KachelX 3367 KachelY + 1 736 -0.55913600 1.41909791 -32.036133 81.308321
    Unten rechts KachelX + 1 3368 KachelY + 1 736 -0.55836901 1.41909791 -31.992188 81.308321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41921377-1.41909791) × R
    0.000115859999999968 × 6371000     		dl = 738.144059999794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41921377-1.41909791) × R
    0.000115859999999968 × 6371000     		dr = 738.144059999794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55913600--0.55836901) × cos(1.41921377) × R
    0.000766989999999912 × 0.151002731075603 × 6371000     		do = 737.873832172524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55913600--0.55836901) × cos(1.41909791) × R
    0.000766989999999912 × 0.151117261535263 × 6371000     		du = 738.433484495154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41921377)-sin(1.41909791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151002731075603-0.151117261535263)×R²
    abs(-0.55836901--0.55913600)×0.000114530459660256×R²
    0.000766989999999912×0.000114530459660256×6371000²
    0.000766989999999912×0.000114530459660256×40589641000000     		ar = 544863.738876148m²