Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3366 / 865
↖ ↑ ↗
← N 80.408388°
W 32.080078°		 ← 814.21 m → N 80.408388°
W 32.036133°		 →
↑
814.47 m
↓
↑
814.47 m
↓
N 80.401063°
W 32.080078°		 ← 814.82 m →
663 399 m²		 N 80.401063°
W 32.036133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41094970703125 y=0.10565185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41094970703125 × 213)
    floor (0.41094970703125 × 8192)
    floor (3366.5)     		tx = 3366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10565185546875 × 213)
    floor (0.10565185546875 × 8192)
    floor (865.5)     		ty = 865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3366 / 865 ti = "13/3366/865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3366/865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3366 ÷ 213
    3366 ÷ 8192     		x = 0.410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 865 ÷ 213
    865 ÷ 8192     		y = 0.1055908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.17822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55990299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1055908203125 × 2 - 1) × π
    0.788818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47814596275842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55990299} λ = -0.55990299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47814596275842))-π/2
    2×atan(11.9191453800029)-π/2
    2×1.48709372050598-π/2
    2.97418744101195-1.57079632675     		φ = 1.40339111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55990299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.080078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40339111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.408388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3366 KachelY 865 -0.55990299 1.40339111 -32.080078 80.408388
    Oben rechts KachelX + 1 3367 KachelY 865 -0.55913600 1.40339111 -32.036133 80.408388
    Unten links KachelX 3366 KachelY + 1 866 -0.55990299 1.40326327 -32.080078 80.401063
    Unten rechts KachelX + 1 3367 KachelY + 1 866 -0.55913600 1.40326327 -32.036133 80.401063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40339111-1.40326327) × R
    0.00012783999999999 × 6371000     		dl = 814.468639999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40339111-1.40326327) × R
    0.00012783999999999 × 6371000     		dr = 814.468639999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55990299--0.55913600) × cos(1.40339111) × R
    0.000766990000000023 × 0.166624403592785 × 6371000     		do = 814.209030106422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55990299--0.55913600) × cos(1.40326327) × R
    0.000766990000000023 × 0.166750455083917 × 6371000     		du = 814.82497987203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40339111)-sin(1.40326327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166624403592785-0.166750455083917)×R²
    abs(-0.55913600--0.55990299)×0.000126051491131374×R²
    0.000766990000000023×0.000126051491131374×6371000²
    0.000766990000000023×0.000126051491131374×40589641000000     		ar = 663398.558214177m²