Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3366 / 734
↖ ↑ ↗
← N 81.321592°
W 32.080078°		 ← 737.31 m → N 81.321592°
W 32.036133°		 →
↑
737.57 m
↓
↑
737.57 m
↓
N 81.314959°
W 32.080078°		 ← 737.87 m →
544 028 m²		 N 81.314959°
W 32.036133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41094970703125 y=0.08966064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41094970703125 × 213)
    floor (0.41094970703125 × 8192)
    floor (3366.5)     		tx = 3366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08966064453125 × 213)
    floor (0.08966064453125 × 8192)
    floor (734.5)     		ty = 734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3366 / 734 ti = "13/3366/734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3366/734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3366 ÷ 213
    3366 ÷ 8192     		x = 0.410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 734 ÷ 213
    734 ÷ 8192     		y = 0.089599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.17822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55990299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089599609375 × 2 - 1) × π
    0.82080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57862170436206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55990299} λ = -0.55990299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57862170436206))-π/2
    2×atan(13.1789611312367)-π/2
    2×1.49506293553759-π/2
    2.99012587107518-1.57079632675     		φ = 1.41932954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55990299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.080078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41932954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.321592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3366 KachelY 734 -0.55990299 1.41932954 -32.080078 81.321592
    Oben rechts KachelX + 1 3367 KachelY 734 -0.55913600 1.41932954 -32.036133 81.321592
    Unten links KachelX 3366 KachelY + 1 735 -0.55990299 1.41921377 -32.080078 81.314959
    Unten rechts KachelX + 1 3367 KachelY + 1 735 -0.55913600 1.41921377 -32.036133 81.314959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41932954-1.41921377) × R
    0.000115769999999848 × 6371000     		dl = 737.570669999035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41932954-1.41921377) × R
    0.000115769999999848 × 6371000     		dr = 737.570669999035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55990299--0.55913600) × cos(1.41932954) × R
    0.000766990000000023 × 0.150888287558526 × 6371000     		do = 737.314604694351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55990299--0.55913600) × cos(1.41921377) × R
    0.000766990000000023 × 0.151002731075603 × 6371000     		du = 737.873832172631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41932954)-sin(1.41921377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150888287558526-0.151002731075603)×R²
    abs(-0.55913600--0.55990299)×0.000114443517076845×R²
    0.000766990000000023×0.000114443517076845×6371000²
    0.000766990000000023×0.000114443517076845×40589641000000     		ar = 544027.862486517m²