Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33654 / 101510
↖ ↑ ↗
← S 69.784647°
W 87.566528°		 ← 105.52 m → S 69.784647°
W 87.563782°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
S 69.785596°
W 87.566528°		 ← 105.51 m →
11 132 m²		 S 69.785596°
W 87.563782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256763458251953 y=0.774463653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256763458251953 × 217)
    floor (0.256763458251953 × 131072)
    floor (33654.5)     		tx = 33654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774463653564453 × 217)
    floor (0.774463653564453 × 131072)
    floor (101510.5)     		ty = 101510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33654 / 101510 ti = "17/33654/101510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33654/101510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33654 ÷ 217
    33654 ÷ 131072     		x = 0.256759643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101510 ÷ 217
    101510 ÷ 131072     		y = 0.774459838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256759643554688 × 2 - 1) × π
    -0.486480712890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.52832423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774459838867188 × 2 - 1) × π
    -0.548919677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7244820269319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52832423} λ = -1.52832423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7244820269319))-π/2
    2×atan(0.178265364520873)-π/2
    2×0.176412234415488-π/2
    0.352824468830976-1.57079632675     		φ = -1.21797186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52832423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.566528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21797186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.784647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33654 KachelY 101510 -1.52832423 -1.21797186 -87.566528 -69.784647
    Oben rechts KachelX + 1 33655 KachelY 101510 -1.52827630 -1.21797186 -87.563782 -69.784647
    Unten links KachelX 33654 KachelY + 1 101511 -1.52832423 -1.21798842 -87.566528 -69.785596
    Unten rechts KachelX + 1 33655 KachelY + 1 101511 -1.52827630 -1.21798842 -87.563782 -69.785596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21797186--1.21798842) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dl = 105.503759999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21797186--1.21798842) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dr = 105.503759999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52832423--1.52827630) × cos(-1.21797186) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345549663211148 × 6371000     		do = 105.517746624037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52832423--1.52827630) × cos(-1.21798842) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345534123252089 × 6371000     		du = 105.513001310593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21797186)-sin(-1.21798842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345549663211148-0.345534123252089)×R²
    abs(-1.52827630--1.52832423)×1.55399590586192e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55399590586192e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55399590586192e-05×40589641000000     		ar = 11132.2686916272m²