Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33654 / 101506
↖ ↑ ↗
← S 69.780850°
W 87.566528°		 ← 105.54 m → S 69.780850°
W 87.563782°		 →
↑
105.57 m
↓
↑
105.57 m
↓
S 69.781800°
W 87.566528°		 ← 105.53 m →
11 141 m²		 S 69.781800°
W 87.563782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256763458251953 y=0.774433135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256763458251953 × 217)
    floor (0.256763458251953 × 131072)
    floor (33654.5)     		tx = 33654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774433135986328 × 217)
    floor (0.774433135986328 × 131072)
    floor (101506.5)     		ty = 101506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33654 / 101506 ti = "17/33654/101506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33654/101506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33654 ÷ 217
    33654 ÷ 131072     		x = 0.256759643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101506 ÷ 217
    101506 ÷ 131072     		y = 0.774429321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256759643554688 × 2 - 1) × π
    -0.486480712890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.52832423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774429321289062 × 2 - 1) × π
    -0.548858642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72429027933342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52832423} λ = -1.52832423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72429027933342))-π/2
    2×atan(0.178299549753775)-π/2
    2×0.176445366555429-π/2
    0.352890733110857-1.57079632675     		φ = -1.21790559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52832423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.566528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21790559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.780850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33654 KachelY 101506 -1.52832423 -1.21790559 -87.566528 -69.780850
    Oben rechts KachelX + 1 33655 KachelY 101506 -1.52827630 -1.21790559 -87.563782 -69.780850
    Unten links KachelX 33654 KachelY + 1 101507 -1.52832423 -1.21792216 -87.566528 -69.781800
    Unten rechts KachelX + 1 33655 KachelY + 1 101507 -1.52827630 -1.21792216 -87.563782 -69.781800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21790559--1.21792216) × R
    1.65700000001046e-05 × 6371000     		dl = 105.567470000666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21790559--1.21792216) × R
    1.65700000001046e-05 × 6371000     		dr = 105.567470000666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52832423--1.52827630) × cos(-1.21790559) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345611850251053 × 6371000     		do = 105.536736184782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52832423--1.52827630) × cos(-1.21792216) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345596301287404 × 6371000     		du = 105.531988121678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21790559)-sin(-1.21792216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345611850251053-0.345596301287404)×R²
    abs(-1.52827630--1.52832423)×1.55489636490813e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55489636490813e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55489636490813e-05×40589641000000     		ar = 11140.9956109526m²