Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 33653 / 101503
↖ ↑ ↗
← S 69.778003°
W 87.569275°		 ← 105.57 m → S 69.778003°
W 87.566528°		 →
↑
105.57 m
↓
↑
105.57 m
↓
S 69.778952°
W 87.569275°		 ← 105.57 m →
11 145 m²		 S 69.778952°
W 87.566528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256755828857422 y=0.774410247802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256755828857422 × 217)
    floor (0.256755828857422 × 131072)
    floor (33653.5)     		tx = 33653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774410247802734 × 217)
    floor (0.774410247802734 × 131072)
    floor (101503.5)     		ty = 101503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33653 / 101503 ti = "17/33653/101503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33653/101503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33653 ÷ 217
    33653 ÷ 131072     		x = 0.256752014160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101503 ÷ 217
    101503 ÷ 131072     		y = 0.774406433105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256752014160156 × 2 - 1) × π
    -0.486495971679688 × 3.1415926535     		Λ = -1.52837217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774406433105469 × 2 - 1) × π
    -0.548812866210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.72414646863456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52837217} λ = -1.52837217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72414646863456))-π/2
    2×atan(0.178325192980473)-π/2
    2×0.176470219572933-π/2
    0.352940439145866-1.57079632675     		φ = -1.21785589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52837217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.569275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21785589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.778003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33653 KachelY 101503 -1.52837217 -1.21785589 -87.569275 -69.778003
    Oben rechts KachelX + 1 33654 KachelY 101503 -1.52832423 -1.21785589 -87.566528 -69.778003
    Unten links KachelX 33653 KachelY + 1 101504 -1.52837217 -1.21787246 -87.569275 -69.778952
    Unten rechts KachelX + 1 33654 KachelY + 1 101504 -1.52832423 -1.21787246 -87.566528 -69.778952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21785589--1.21787246) × R
    1.65699999998825e-05 × 6371000     		dl = 105.567469999251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21785589--1.21787246) × R
    1.65699999998825e-05 × 6371000     		dr = 105.567469999251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52837217--1.52832423) × cos(-1.21785589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345658487189022 × 6371000     		do = 105.572999236918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52837217--1.52832423) × cos(-1.21787246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345642938510007 × 6371000     		du = 105.568250270124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21785589)-sin(-1.21787246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345658487189022-0.345642938510007)×R²
    abs(-1.52832423--1.52837217)×1.55486790147097e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55486790147097e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55486790147097e-05×40589641000000     		ar = 11144.8237618784m²