Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3365 / 864
↖ ↑ ↗
← N 80.415708°
W 32.124024°		 ← 813.59 m → N 80.415708°
W 32.080078°		 →
↑
813.96 m
↓
↑
813.96 m
↓
N 80.408388°
W 32.124024°		 ← 814.21 m →
662 482 m²		 N 80.408388°
W 32.080078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41082763671875 y=0.10552978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41082763671875 × 213)
    floor (0.41082763671875 × 8192)
    floor (3365.5)     		tx = 3365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10552978515625 × 213)
    floor (0.10552978515625 × 8192)
    floor (864.5)     		ty = 864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3365 / 864 ti = "13/3365/864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3365/864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3365 ÷ 213
    3365 ÷ 8192     		x = 0.4107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 864 ÷ 213
    864 ÷ 8192     		y = 0.10546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.178466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56066998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10546875 × 2 - 1) × π
    0.7890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47891295315234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56066998} λ = -0.56066998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47891295315234))-π/2
    2×atan(11.9282907567729)-π/2
    2×1.48715759600613-π/2
    2.97431519201227-1.57079632675     		φ = 1.40351887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56066998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.124024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40351887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.415708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3365 KachelY 864 -0.56066998 1.40351887 -32.124024 80.415708
    Oben rechts KachelX + 1 3366 KachelY 864 -0.55990299 1.40351887 -32.080078 80.415708
    Unten links KachelX 3365 KachelY + 1 865 -0.56066998 1.40339111 -32.124024 80.408388
    Unten rechts KachelX + 1 3366 KachelY + 1 865 -0.55990299 1.40339111 -32.080078 80.408388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40351887-1.40339111) × R
    0.000127760000000032 × 6371000     		dl = 813.958960000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40351887-1.40339111) × R
    0.000127760000000032 × 6371000     		dr = 813.958960000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56066998--0.55990299) × cos(1.40351887) × R
    0.000766990000000023 × 0.166498428261839 × 6371000     		do = 813.593452497045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56066998--0.55990299) × cos(1.40339111) × R
    0.000766990000000023 × 0.166624403592785 × 6371000     		du = 814.209030106422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40351887)-sin(1.40339111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166498428261839-0.166624403592785)×R²
    abs(-0.55990299--0.56066998)×0.000125975330946854×R²
    0.000766990000000023×0.000125975330946854×6371000²
    0.000766990000000023×0.000125975330946854×40589641000000     		ar = 662482.208812609m²