Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3365 / 737
↖ ↑ ↗
← N 81.301678°
W 32.124024°		 ← 738.99 m → N 81.301678°
W 32.080078°		 →
↑
739.29 m
↓
↑
739.29 m
↓
N 81.295029°
W 32.124024°		 ← 739.55 m →
546 538 m²		 N 81.295029°
W 32.080078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41082763671875 y=0.09002685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41082763671875 × 213)
    floor (0.41082763671875 × 8192)
    floor (3365.5)     		tx = 3365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09002685546875 × 213)
    floor (0.09002685546875 × 8192)
    floor (737.5)     		ty = 737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3365 / 737 ti = "13/3365/737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3365/737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3365 ÷ 213
    3365 ÷ 8192     		x = 0.4107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 737 ÷ 213
    737 ÷ 8192     		y = 0.0899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.178466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56066998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0899658203125 × 2 - 1) × π
    0.820068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5763207331803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56066998} λ = -0.56066998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5763207331803))-π/2
    2×atan(13.1486715825214)-π/2
    2×1.49488914316381-π/2
    2.98977828632761-1.57079632675     		φ = 1.41898196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56066998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.124024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41898196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.301678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3365 KachelY 737 -0.56066998 1.41898196 -32.124024 81.301678
    Oben rechts KachelX + 1 3366 KachelY 737 -0.55990299 1.41898196 -32.080078 81.301678
    Unten links KachelX 3365 KachelY + 1 738 -0.56066998 1.41886592 -32.124024 81.295029
    Unten rechts KachelX + 1 3366 KachelY + 1 738 -0.55990299 1.41886592 -32.080078 81.295029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41898196-1.41886592) × R
    0.000116039999999984 × 6371000     		dl = 739.290839999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41898196-1.41886592) × R
    0.000116039999999984 × 6371000     		dr = 739.290839999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56066998--0.55990299) × cos(1.41898196) × R
    0.000766990000000023 × 0.151231878931244 × 6371000     		do = 738.993561631639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56066998--0.55990299) × cos(1.41886592) × R
    0.000766990000000023 × 0.151346583257271 × 6371000     		du = 739.554063551106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41898196)-sin(1.41886592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151231878931244-0.151346583257271)×R²
    abs(-0.55990299--0.56066998)×0.000114704326027421×R²
    0.000766990000000023×0.000114704326027421×6371000²
    0.000766990000000023×0.000114704326027421×40589641000000     		ar = 546538.358515086m²