Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3365 / 673
↖ ↑ ↗
← N 81.716859°
W 32.124024°		 ← 703.97 m → N 81.716859°
W 32.080078°		 →
↑
704.19 m
↓
↑
704.19 m
↓
N 81.710526°
W 32.124024°		 ← 704.51 m →
495 916 m²		 N 81.710526°
W 32.080078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41082763671875 y=0.08221435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41082763671875 × 213)
    floor (0.41082763671875 × 8192)
    floor (3365.5)     		tx = 3365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08221435546875 × 213)
    floor (0.08221435546875 × 8192)
    floor (673.5)     		ty = 673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3365 / 673 ti = "13/3365/673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3365/673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3365 ÷ 213
    3365 ÷ 8192     		x = 0.4107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 673 ÷ 213
    673 ÷ 8192     		y = 0.0821533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.178466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56066998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0821533203125 × 2 - 1) × π
    0.835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62540811839124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56066998} λ = -0.56066998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62540811839124))-π/2
    2×atan(13.8102092364812)-π/2
    2×1.49851228568724-π/2
    2.99702457137448-1.57079632675     		φ = 1.42622824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56066998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.124024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42622824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.716859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3365 KachelY 673 -0.56066998 1.42622824 -32.124024 81.716859
    Oben rechts KachelX + 1 3366 KachelY 673 -0.55990299 1.42622824 -32.080078 81.716859
    Unten links KachelX 3365 KachelY + 1 674 -0.56066998 1.42611771 -32.124024 81.710526
    Unten rechts KachelX + 1 3366 KachelY + 1 674 -0.55990299 1.42611771 -32.080078 81.710526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42622824-1.42611771) × R
    0.000110529999999942 × 6371000     		dl = 704.186629999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42622824-1.42611771) × R
    0.000110529999999942 × 6371000     		dr = 704.186629999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56066998--0.55990299) × cos(1.42622824) × R
    0.000766990000000023 × 0.14406503557908 × 6371000     		do = 703.972829680808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56066998--0.55990299) × cos(1.42611771) × R
    0.000766990000000023 × 0.144174411674396 × 6371000     		du = 704.507295236656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42622824)-sin(1.42611771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14406503557908-0.144174411674396)×R²
    abs(-0.55990299--0.56066998)×0.000109376095316027×R²
    0.000766990000000023×0.000109376095316027×6371000²
    0.000766990000000023×0.000109376095316027×40589641000000     		ar = 495916.436796682m²