Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3365 / 1302
↖ ↑ ↗
← N 54.673831°
E115.751953°		 ← 5 651.04 m → N 54.673831°
E115.839844°		 →
↑
5 654.58 m
↓
↑
5 654.58 m
↓
N 54.622978°
E115.751953°		 ← 5 658.11 m →
31 974 252 m²		 N 54.622978°
E115.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8216552734375 y=0.3179931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8216552734375 × 212)
    floor (0.8216552734375 × 4096)
    floor (3365.5)     		tx = 3365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3179931640625 × 212)
    floor (0.3179931640625 × 4096)
    floor (1302.5)     		ty = 1302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3365 / 1302 ti = "12/3365/1302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3365/1302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3365 ÷ 212
    3365 ÷ 4096     		x = 0.821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1302 ÷ 212
    1302 ÷ 4096     		y = 0.31787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821533203125 × 2 - 1) × π
    0.64306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02025270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31787109375 × 2 - 1) × π
    0.3642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14434966772998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02025270} λ = 2.02025270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14434966772998))-π/2
    2×atan(3.14039839019374)-π/2
    2×1.26251734590516-π/2
    2.52503469181031-1.57079632675     		φ = 0.95423837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02025270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95423837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.673831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3365 KachelY 1302 2.02025270 0.95423837 115.751953 54.673831
    Oben rechts KachelX + 1 3366 KachelY 1302 2.02178668 0.95423837 115.839844 54.673831
    Unten links KachelX 3365 KachelY + 1 1303 2.02025270 0.95335082 115.751953 54.622978
    Unten rechts KachelX + 1 3366 KachelY + 1 1303 2.02178668 0.95335082 115.839844 54.622978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95423837-0.95335082) × R
    0.000887549999999959 × 6371000     		dl = 5654.58104999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95423837-0.95335082) × R
    0.000887549999999959 × 6371000     		dr = 5654.58104999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02025270-2.02178668) × cos(0.95423837) × R
    0.00153398000000005 × 0.578230319306918 × 6371000     		do = 5651.03715073579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02025270-2.02178668) × cos(0.95335082) × R
    0.00153398000000005 × 0.578954220058383 × 6371000     		du = 5658.11182306512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95423837)-sin(0.95335082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578230319306918-0.578954220058383)×R²
    abs(2.02178668-2.02025270)×0.000723900751465334×R²
    0.00153398000000005×0.000723900751465334×6371000²
    0.00153398000000005×0.000723900751465334×40589641000000     		ar = 31974251.8384042m²