Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33641 / 101497
↖ ↑ ↗
← S 69.772306°
W 87.602234°		 ← 105.58 m → S 69.772306°
W 87.599488°		 →
↑
105.57 m
↓
↑
105.57 m
↓
S 69.773255°
W 87.602234°		 ← 105.57 m →
11 146 m²		 S 69.773255°
W 87.599488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256664276123047 y=0.774364471435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256664276123047 × 217)
    floor (0.256664276123047 × 131072)
    floor (33641.5)     		tx = 33641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774364471435547 × 217)
    floor (0.774364471435547 × 131072)
    floor (101497.5)     		ty = 101497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33641 / 101497 ti = "17/33641/101497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33641/101497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33641 ÷ 217
    33641 ÷ 131072     		x = 0.256660461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101497 ÷ 217
    101497 ÷ 131072     		y = 0.774360656738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256660461425781 × 2 - 1) × π
    -0.486679077148438 × 3.1415926535     		Λ = -1.52894741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774360656738281 × 2 - 1) × π
    -0.548721313476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.72385884723684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52894741} λ = -1.52894741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72385884723684))-π/2
    2×atan(0.178376490498505)-π/2
    2×0.176519935670478-π/2
    0.353039871340956-1.57079632675     		φ = -1.21775646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52894741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.602234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21775646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.772306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33641 KachelY 101497 -1.52894741 -1.21775646 -87.602234 -69.772306
    Oben rechts KachelX + 1 33642 KachelY 101497 -1.52889948 -1.21775646 -87.599488 -69.772306
    Unten links KachelX 33641 KachelY + 1 101498 -1.52894741 -1.21777303 -87.602234 -69.773255
    Unten rechts KachelX + 1 33642 KachelY + 1 101498 -1.52889948 -1.21777303 -87.599488 -69.773255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21775646--1.21777303) × R
    1.65700000001046e-05 × 6371000     		dl = 105.567470000666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21775646--1.21777303) × R
    1.65700000001046e-05 × 6371000     		dr = 105.567470000666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52894741--1.52889948) × cos(-1.21775646) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345751786653202 × 6371000     		do = 105.579467448613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52894741--1.52889948) × cos(-1.21777303) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345736238543743 × 6371000     		du = 105.574719646346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21775646)-sin(-1.21777303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345751786653202-0.345736238543743)×R²
    abs(-1.52889948--1.52894741)×1.55481094594179e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55481094594179e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55481094594179e-05×40589641000000     		ar = 11145.5066559948m²