Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3364 / 684
↖ ↑ ↗
← N 81.646927°
W 32.167969°		 ← 709.87 m → N 81.646927°
W 32.124024°		 →
↑
710.18 m
↓
↑
710.18 m
↓
N 81.640540°
W 32.167969°		 ← 710.41 m →
504 327 m²		 N 81.640540°
W 32.124024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41070556640625 y=0.08355712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41070556640625 × 213)
    floor (0.41070556640625 × 8192)
    floor (3364.5)     		tx = 3364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08355712890625 × 213)
    floor (0.08355712890625 × 8192)
    floor (684.5)     		ty = 684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3364 / 684 ti = "13/3364/684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3364/684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3364 ÷ 213
    3364 ÷ 8192     		x = 0.41064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 684 ÷ 213
    684 ÷ 8192     		y = 0.08349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56143697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08349609375 × 2 - 1) × π
    0.8330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61697122405811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56143697} λ = -0.56143697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61697122405811))-π/2
    2×atan(13.6941840945988)-π/2
    2×1.49790201110527-π/2
    2.99580402221054-1.57079632675     		φ = 1.42500770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56143697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.167969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42500770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.646927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3364 KachelY 684 -0.56143697 1.42500770 -32.167969 81.646927
    Oben rechts KachelX + 1 3365 KachelY 684 -0.56066998 1.42500770 -32.124024 81.646927
    Unten links KachelX 3364 KachelY + 1 685 -0.56143697 1.42489623 -32.167969 81.640540
    Unten rechts KachelX + 1 3365 KachelY + 1 685 -0.56066998 1.42489623 -32.124024 81.640540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42500770-1.42489623) × R
    0.000111470000000002 × 6371000     		dl = 710.175370000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42500770-1.42489623) × R
    0.000111470000000002 × 6371000     		dr = 710.175370000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56143697--0.56066998) × cos(1.42500770) × R
    0.000766990000000023 × 0.145272735568472 × 6371000     		do = 709.874247575302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56143697--0.56066998) × cos(1.42489623) × R
    0.000766990000000023 × 0.145383022152651 × 6371000     		du = 710.413162228873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42500770)-sin(1.42489623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145272735568472-0.145383022152651)×R²
    abs(-0.56066998--0.56143697)×0.00011028658417972×R²
    0.000766990000000023×0.00011028658417972×6371000²
    0.000766990000000023×0.00011028658417972×40589641000000     		ar = 504326.568901714m²