Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3364 / 1305
↖ ↑ ↗
← N 54.521081°
E115.664063°		 ← 5 672.27 m → N 54.521081°
E115.751953°		 →
↑
5 675.80 m
↓
↑
5 675.80 m
↓
N 54.470038°
E115.664063°		 ← 5 679.36 m →
32 214 791 m²		 N 54.470038°
E115.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8214111328125 y=0.3187255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8214111328125 × 212)
    floor (0.8214111328125 × 4096)
    floor (3364.5)     		tx = 3364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3187255859375 × 212)
    floor (0.3187255859375 × 4096)
    floor (1305.5)     		ty = 1305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3364 / 1305 ti = "12/3364/1305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3364/1305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3364 ÷ 212
    3364 ÷ 4096     		x = 0.8212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1305 ÷ 212
    1305 ÷ 4096     		y = 0.318603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8212890625 × 2 - 1) × π
    0.642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01871872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318603515625 × 2 - 1) × π
    0.36279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13974772536646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01871872} λ = 2.01871872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13974772536646))-π/2
    2×atan(3.12597966033195)-π/2
    2×1.26118435530982-π/2
    2.52236871061963-1.57079632675     		φ = 0.95157238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01871872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.664063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95157238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.521081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3364 KachelY 1305 2.01871872 0.95157238 115.664063 54.521081
    Oben rechts KachelX + 1 3365 KachelY 1305 2.02025270 0.95157238 115.751953 54.521081
    Unten links KachelX 3364 KachelY + 1 1306 2.01871872 0.95068150 115.664063 54.470038
    Unten rechts KachelX + 1 3365 KachelY + 1 1306 2.02025270 0.95068150 115.751953 54.470038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95157238-0.95068150) × R
    0.000890880000000038 × 6371000     		dl = 5675.79648000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95157238-0.95068150) × R
    0.000890880000000038 × 6371000     		dr = 5675.79648000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01871872-2.02025270) × cos(0.95157238) × R
    0.00153398000000005 × 0.580403372649151 × 6371000     		do = 5672.27437188706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01871872-2.02025270) × cos(0.95068150) × R
    0.00153398000000005 × 0.581128611761183 × 6371000     		du = 5679.36212399624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95157238)-sin(0.95068150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580403372649151-0.581128611761183)×R²
    abs(2.02025270-2.01871872)×0.000725239112032483×R²
    0.00153398000000005×0.000725239112032483×6371000²
    0.00153398000000005×0.000725239112032483×40589641000000     		ar = 32214791.3634387m²