Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33633 / 34866
↖ ↑ ↗
← S 11.447723°
E  4.751587°		 ← 598.64 m → S 11.447723°
E  4.757080°		 →
↑
598.68 m
↓
↑
598.68 m
↓
S 11.453107°
E  4.751587°		 ← 598.63 m →
358 390 m²		 S 11.453107°
E  4.757080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513206481933594 y=0.532020568847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513206481933594 × 216)
    floor (0.513206481933594 × 65536)
    floor (33633.5)     		tx = 33633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532020568847656 × 216)
    floor (0.532020568847656 × 65536)
    floor (34866.5)     		ty = 34866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33633 / 34866 ti = "16/33633/34866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33633/34866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33633 ÷ 216
    33633 ÷ 65536     		x = 0.513198852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34866 ÷ 216
    34866 ÷ 65536     		y = 0.532012939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513198852539062 × 2 - 1) × π
    0.026397705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08293084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532012939453125 × 2 - 1) × π
    -0.06402587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.201143230805756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08293084} λ = 0.08293084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.201143230805756))-π/2
    2×atan(0.817795289686613)-π/2
    2×0.685497932645237-π/2
    1.37099586529047-1.57079632675     		φ = -0.19980046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08293084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.751587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19980046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.447723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33633 KachelY 34866 0.08293084 -0.19980046 4.751587 -11.447723
    Oben rechts KachelX + 1 33634 KachelY 34866 0.08302671 -0.19980046 4.757080 -11.447723
    Unten links KachelX 33633 KachelY + 1 34867 0.08293084 -0.19989443 4.751587 -11.453107
    Unten rechts KachelX + 1 33634 KachelY + 1 34867 0.08302671 -0.19989443 4.757080 -11.453107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19980046--0.19989443) × R
    9.39699999999988e-05 × 6371000     		dl = 598.682869999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19980046--0.19989443) × R
    9.39699999999988e-05 × 6371000     		dr = 598.682869999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08293084-0.08302671) × cos(-0.19980046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980106200807976 × 6371000     		do = 598.636880754663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08293084-0.08302671) × cos(-0.19989443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980087545901022 × 6371000     		du = 598.625486565644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19980046)-sin(-0.19989443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980106200807976-0.980087545901022)×R²
    abs(0.08302671-0.08293084)×1.86549069548514e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86549069548514e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86549069548514e-05×40589641000000     		ar = 358390.23536894m²