Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 33633 / 101510
↖ ↑ ↗
← S 69.784647°
W 87.624207°		 ← 105.54 m → S 69.784647°
W 87.621460°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
S 69.785596°
W 87.624207°		 ← 105.54 m →
11 135 m²		 S 69.785596°
W 87.621460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256603240966797 y=0.774463653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256603240966797 × 217)
    floor (0.256603240966797 × 131072)
    floor (33633.5)     		tx = 33633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774463653564453 × 217)
    floor (0.774463653564453 × 131072)
    floor (101510.5)     		ty = 101510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33633 / 101510 ti = "17/33633/101510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33633/101510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33633 ÷ 217
    33633 ÷ 131072     		x = 0.256599426269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101510 ÷ 217
    101510 ÷ 131072     		y = 0.774459838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256599426269531 × 2 - 1) × π
    -0.486801147460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.52933091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774459838867188 × 2 - 1) × π
    -0.548919677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7244820269319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52933091} λ = -1.52933091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7244820269319))-π/2
    2×atan(0.178265364520873)-π/2
    2×0.176412234415488-π/2
    0.352824468830976-1.57079632675     		φ = -1.21797186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52933091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.624207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21797186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.784647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33633 KachelY 101510 -1.52933091 -1.21797186 -87.624207 -69.784647
    Oben rechts KachelX + 1 33634 KachelY 101510 -1.52928297 -1.21797186 -87.621460 -69.784647
    Unten links KachelX 33633 KachelY + 1 101511 -1.52933091 -1.21798842 -87.624207 -69.785596
    Unten rechts KachelX + 1 33634 KachelY + 1 101511 -1.52928297 -1.21798842 -87.621460 -69.785596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21797186--1.21798842) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dl = 105.503759999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21797186--1.21798842) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dr = 105.503759999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52933091--1.52928297) × cos(-1.21797186) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.345549663211148 × 6371000     		do = 105.539761593435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52933091--1.52928297) × cos(-1.21798842) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.345534123252089 × 6371000     		du = 105.53501528994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21797186)-sin(-1.21798842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345549663211148-0.345534123252089)×R²
    abs(-1.52928297--1.52933091)×1.55399590586192e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.55399590586192e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.55399590586192e-05×40589641000000     		ar = 11134.5913014481m²