Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33632 / 34928
↖ ↑ ↗
← S 11.781325°
E  4.746094°		 ← 597.98 m → S 11.781325°
E  4.751587°		 →
↑
597.92 m
↓
↑
597.92 m
↓
S 11.786703°
E  4.746094°		 ← 597.97 m →
357 542 m²		 S 11.786703°
E  4.751587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513191223144531 y=0.532966613769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513191223144531 × 216)
    floor (0.513191223144531 × 65536)
    floor (33632.5)     		tx = 33632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532966613769531 × 216)
    floor (0.532966613769531 × 65536)
    floor (34928.5)     		ty = 34928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33632 / 34928 ti = "16/33632/34928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33632/34928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33632 ÷ 216
    33632 ÷ 65536     		x = 0.51318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34928 ÷ 216
    34928 ÷ 65536     		y = 0.532958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51318359375 × 2 - 1) × π
    0.0263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.08283496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.06591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.207087406358643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08283496} λ = 0.08283496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.207087406358643))-π/2
    2×atan(0.812948590006053)-π/2
    2×0.682586705067518-π/2
    1.36517341013504-1.57079632675     		φ = -0.20562292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08283496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.746094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20562292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.781325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33632 KachelY 34928 0.08283496 -0.20562292 4.746094 -11.781325
    Oben rechts KachelX + 1 33633 KachelY 34928 0.08293084 -0.20562292 4.751587 -11.781325
    Unten links KachelX 33632 KachelY + 1 34929 0.08283496 -0.20571677 4.746094 -11.786703
    Unten rechts KachelX + 1 33633 KachelY + 1 34929 0.08293084 -0.20571677 4.751587 -11.786703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20562292--0.20571677) × R
    9.38500000000064e-05 × 6371000     		dl = 597.918350000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20562292--0.20571677) × R
    9.38500000000064e-05 × 6371000     		dr = 597.918350000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08283496-0.08293084) × cos(-0.20562292) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.978933988520277 × 6371000     		do = 597.983275709955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08283496-0.08293084) × cos(-0.20571677) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.978914822197995 × 6371000     		du = 597.971567933622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20562292)-sin(-0.20571677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978933988520277-0.978914822197995)×R²
    abs(0.08293084-0.08283496)×1.91663222823824e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.91663222823824e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.91663222823824e-05×40589641000000     		ar = 357541.673655396m²