Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33631 / 34931
↖ ↑ ↗
← S 11.797457°
E  4.740601°		 ← 597.89 m → S 11.797457°
E  4.746094°		 →
↑
597.92 m
↓
↑
597.92 m
↓
S 11.802834°
E  4.740601°		 ← 597.87 m →
357 483 m²		 S 11.802834°
E  4.746094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513175964355469 y=0.533012390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513175964355469 × 216)
    floor (0.513175964355469 × 65536)
    floor (33631.5)     		tx = 33631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533012390136719 × 216)
    floor (0.533012390136719 × 65536)
    floor (34931.5)     		ty = 34931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33631 / 34931 ti = "16/33631/34931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33631/34931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33631 ÷ 216
    33631 ÷ 65536     		x = 0.513168334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34931 ÷ 216
    34931 ÷ 65536     		y = 0.533004760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513168334960938 × 2 - 1) × π
    0.026336669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.08273909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533004760742188 × 2 - 1) × π
    -0.066009521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.207375027756363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08273909} λ = 0.08273909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.207375027756363))-π/2
    2×atan(0.812714802219118)-π/2
    2×0.682445928021907-π/2
    1.36489185604381-1.57079632675     		φ = -0.20590447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08273909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.740601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20590447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.797457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33631 KachelY 34931 0.08273909 -0.20590447 4.740601 -11.797457
    Oben rechts KachelX + 1 33632 KachelY 34931 0.08283496 -0.20590447 4.746094 -11.797457
    Unten links KachelX 33631 KachelY + 1 34932 0.08273909 -0.20599832 4.740601 -11.802834
    Unten rechts KachelX + 1 33632 KachelY + 1 34932 0.08283496 -0.20599832 4.746094 -11.802834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20590447--0.20599832) × R
    9.38500000000064e-05 × 6371000     		dl = 597.918350000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20590447--0.20599832) × R
    9.38500000000064e-05 × 6371000     		dr = 597.918350000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08273909-0.08283496) × cos(-0.20590447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978876463687275 × 6371000     		do = 597.885772361023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08273909-0.08283496) × cos(-0.20599832) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978857271499175 × 6371000     		du = 597.874050007253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20590447)-sin(-0.20599832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978876463687275-0.978857271499175)×R²
    abs(0.08283496-0.08273909)×1.91921880996482e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91921880996482e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91921880996482e-05×40589641000000     		ar = 357483.370255849m²