Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3363 / 1251
↖ ↑ ↗
← N 57.183902°
E115.576172°		 ← 5 296.41 m → N 57.183902°
E115.664063°		 →
↑
5 299.84 m
↓
↑
5 299.84 m
↓
N 57.136239°
E115.576172°		 ← 5 303.25 m →
28 088 274 m²		 N 57.136239°
E115.664063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8211669921875 y=0.3055419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8211669921875 × 212)
    floor (0.8211669921875 × 4096)
    floor (3363.5)     		tx = 3363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3055419921875 × 212)
    floor (0.3055419921875 × 4096)
    floor (1251.5)     		ty = 1251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3363 / 1251 ti = "12/3363/1251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3363/1251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3363 ÷ 212
    3363 ÷ 4096     		x = 0.821044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1251 ÷ 212
    1251 ÷ 4096     		y = 0.305419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821044921875 × 2 - 1) × π
    0.64208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01718474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305419921875 × 2 - 1) × π
    0.38916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22258268790991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01718474} λ = 2.01718474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22258268790991))-π/2
    2×atan(3.39594708890111)-π/2
    2×1.2844218466704-π/2
    2.5688436933408-1.57079632675     		φ = 0.99804737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01718474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99804737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.183902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3363 KachelY 1251 2.01718474 0.99804737 115.576172 57.183902
    Oben rechts KachelX + 1 3364 KachelY 1251 2.01871872 0.99804737 115.664063 57.183902
    Unten links KachelX 3363 KachelY + 1 1252 2.01718474 0.99721550 115.576172 57.136239
    Unten rechts KachelX + 1 3364 KachelY + 1 1252 2.01871872 0.99721550 115.664063 57.136239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99804737-0.99721550) × R
    0.000831869999999957 × 6371000     		dl = 5299.84376999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99804737-0.99721550) × R
    0.000831869999999957 × 6371000     		dr = 5299.84376999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01718474-2.01871872) × cos(0.99804737) × R
    0.00153398000000005 × 0.541944356290851 × 6371000     		do = 5296.41492113738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01718474-2.01871872) × cos(0.99721550) × R
    0.00153398000000005 × 0.542643284198053 × 6371000     		du = 5303.24553419485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99804737)-sin(0.99721550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541944356290851-0.542643284198053)×R²
    abs(2.01871872-2.01718474)×0.000698927907201496×R²
    0.00153398000000005×0.000698927907201496×6371000²
    0.00153398000000005×0.000698927907201496×40589641000000     		ar = 28088273.8339225m²