Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33626 / 34809
↖ ↑ ↗
← S 11.140677°
E  4.713135°		 ← 599.28 m → S 11.140677°
E  4.718628°		 →
↑
599.32 m
↓
↑
599.32 m
↓
S 11.146067°
E  4.713135°		 ← 599.27 m →
359 156 m²		 S 11.146067°
E  4.718628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513099670410156 y=0.531150817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513099670410156 × 216)
    floor (0.513099670410156 × 65536)
    floor (33626.5)     		tx = 33626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531150817871094 × 216)
    floor (0.531150817871094 × 65536)
    floor (34809.5)     		ty = 34809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33626 / 34809 ti = "16/33626/34809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33626/34809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33626 ÷ 216
    33626 ÷ 65536     		x = 0.513092041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34809 ÷ 216
    34809 ÷ 65536     		y = 0.531143188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513092041015625 × 2 - 1) × π
    0.02618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08225972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531143188476562 × 2 - 1) × π
    -0.062286376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.195678424249069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08225972} λ = 0.08225972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.195678424249069))-π/2
    2×atan(0.822276616386922)-π/2
    2×0.688177418075858-π/2
    1.37635483615172-1.57079632675     		φ = -0.19444149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08225972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.713135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19444149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.140677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33626 KachelY 34809 0.08225972 -0.19444149 4.713135 -11.140677
    Oben rechts KachelX + 1 33627 KachelY 34809 0.08235559 -0.19444149 4.718628 -11.140677
    Unten links KachelX 33626 KachelY + 1 34810 0.08225972 -0.19453556 4.713135 -11.146067
    Unten rechts KachelX + 1 33627 KachelY + 1 34810 0.08235559 -0.19453556 4.718628 -11.146067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19444149--0.19453556) × R
    9.40700000000017e-05 × 6371000     		dl = 599.31997000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19444149--0.19453556) × R
    9.40700000000017e-05 × 6371000     		dr = 599.31997000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08225972-0.08235559) × cos(-0.19444149) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.981155737080619 × 6371000     		do = 599.277924674251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08225972-0.08235559) × cos(-0.19453556) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.981137556667637 × 6371000     		du = 599.266820300348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19444149)-sin(-0.19453556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981155737080619-0.981137556667637)×R²
    abs(0.08235559-0.08225972)×1.81804129828489e-05×R²
    9.58700000000118e-05×1.81804129828489e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×1.81804129828489e-05×40589641000000     		ar = 359155.900565841m²