Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3361 / 862
↖ ↑ ↗
← N 80.430330°
W 32.299805°		 ← 812.36 m → N 80.430330°
W 32.255859°		 →
↑
812.68 m
↓
↑
812.68 m
↓
N 80.423022°
W 32.299805°		 ← 812.98 m →
660 445 m²		 N 80.423022°
W 32.255859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41033935546875 y=0.10528564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41033935546875 × 213)
    floor (0.41033935546875 × 8192)
    floor (3361.5)     		tx = 3361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10528564453125 × 213)
    floor (0.10528564453125 × 8192)
    floor (862.5)     		ty = 862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3361 / 862 ti = "13/3361/862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3361/862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3361 ÷ 213
    3361 ÷ 8192     		x = 0.4102783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 862 ÷ 213
    862 ÷ 8192     		y = 0.105224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4102783203125 × 2 - 1) × π
    -0.179443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56373794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105224609375 × 2 - 1) × π
    0.78955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48044693394019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56373794} λ = -0.56373794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48044693394019))-π/2
    2×atan(11.9466025670173)-π/2
    2×1.48728520217254-π/2
    2.97457040434509-1.57079632675     		φ = 1.40377408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56373794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.299805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40377408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.430330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3361 KachelY 862 -0.56373794 1.40377408 -32.299805 80.430330
    Oben rechts KachelX + 1 3362 KachelY 862 -0.56297095 1.40377408 -32.255859 80.430330
    Unten links KachelX 3361 KachelY + 1 863 -0.56373794 1.40364652 -32.299805 80.423022
    Unten rechts KachelX + 1 3362 KachelY + 1 863 -0.56297095 1.40364652 -32.255859 80.423022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40377408-1.40364652) × R
    0.000127560000000138 × 6371000     		dl = 812.684760000876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40377408-1.40364652) × R
    0.000127560000000138 × 6371000     		dr = 812.684760000876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56373794--0.56297095) × cos(1.40377408) × R
    0.000766990000000023 × 0.166246775135035 × 6371000     		do = 812.363751181509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56373794--0.56297095) × cos(1.40364652) × R
    0.000766990000000023 × 0.166372558680129 × 6371000     		du = 812.978391630606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40377408)-sin(1.40364652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166246775135035-0.166372558680129)×R²
    abs(-0.56297095--0.56373794)×0.00012578354509446×R²
    0.000766990000000023×0.00012578354509446×6371000²
    0.000766990000000023×0.00012578354509446×40589641000000     		ar = 660445.395518695m²