Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3361 / 1310
↖ ↑ ↗
← N 54.265224°
E115.400390°		 ← 5 707.79 m → N 54.265224°
E115.488282°		 →
↑
5 711.35 m
↓
↑
5 711.35 m
↓
N 54.213861°
E115.400390°		 ← 5 714.90 m →
32 619 493 m²		 N 54.213861°
E115.488282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8206787109375 y=0.3199462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8206787109375 × 212)
    floor (0.8206787109375 × 4096)
    floor (3361.5)     		tx = 3361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3199462890625 × 212)
    floor (0.3199462890625 × 4096)
    floor (1310.5)     		ty = 1310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3361 / 1310 ti = "12/3361/1310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3361/1310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3361 ÷ 212
    3361 ÷ 4096     		x = 0.820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1310 ÷ 212
    1310 ÷ 4096     		y = 0.31982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820556640625 × 2 - 1) × π
    0.64111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01411677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31982421875 × 2 - 1) × π
    0.3603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13207782142725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01411677} λ = 2.01411677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13207782142725))-π/2
    2×atan(3.10209540866655)-π/2
    2×1.25895157814009-π/2
    2.51790315628017-1.57079632675     		φ = 0.94710683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01411677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.400390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94710683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.265224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3361 KachelY 1310 2.01411677 0.94710683 115.400390 54.265224
    Oben rechts KachelX + 1 3362 KachelY 1310 2.01565076 0.94710683 115.488282 54.265224
    Unten links KachelX 3361 KachelY + 1 1311 2.01411677 0.94621037 115.400390 54.213861
    Unten rechts KachelX + 1 3362 KachelY + 1 1311 2.01565076 0.94621037 115.488282 54.213861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94710683-0.94621037) × R
    0.000896459999999988 × 6371000     		dl = 5711.34665999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94710683-0.94621037) × R
    0.000896459999999988 × 6371000     		dr = 5711.34665999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01411677-2.01565076) × cos(0.94710683) × R
    0.00153399000000043 × 0.584034001048921 × 6371000     		do = 5707.79366332261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01411677-2.01565076) × cos(0.94621037) × R
    0.00153399000000043 × 0.584761449028704 × 6371000     		du = 5714.90304901239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94710683)-sin(0.94621037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584034001048921-0.584761449028704)×R²
    abs(2.01565076-2.01411677)×0.00072744797978308×R²
    0.00153399000000043×0.00072744797978308×6371000²
    0.00153399000000043×0.00072744797978308×40589641000000     		ar = 32619492.542622m²