Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 33604 / 101443
↖ ↑ ↗
← S 69.720963°
W 87.703857°		 ← 105.86 m → S 69.720963°
W 87.701111°		 →
↑
105.82 m
↓
↑
105.82 m
↓
S 69.721915°
W 87.703857°		 ← 105.85 m →
11 202 m²		 S 69.721915°
W 87.701111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256381988525391 y=0.773952484130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256381988525391 × 217)
    floor (0.256381988525391 × 131072)
    floor (33604.5)     		tx = 33604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773952484130859 × 217)
    floor (0.773952484130859 × 131072)
    floor (101443.5)     		ty = 101443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33604 / 101443 ti = "17/33604/101443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33604/101443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33604 ÷ 217
    33604 ÷ 131072     		x = 0.256378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101443 ÷ 217
    101443 ÷ 131072     		y = 0.773948669433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.48724365234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.53072108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773948669433594 × 2 - 1) × π
    -0.547897338867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.72127025465736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53072108} λ = -1.53072108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72127025465736))-π/2
    2×atan(0.178838832707797)-π/2
    2×0.176967984793557-π/2
    0.353935969587113-1.57079632675     		φ = -1.21686036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53072108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.703857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21686036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.720963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33604 KachelY 101443 -1.53072108 -1.21686036 -87.703857 -69.720963
    Oben rechts KachelX + 1 33605 KachelY 101443 -1.53067314 -1.21686036 -87.701111 -69.720963
    Unten links KachelX 33604 KachelY + 1 101444 -1.53072108 -1.21687697 -87.703857 -69.721915
    Unten rechts KachelX + 1 33605 KachelY + 1 101444 -1.53067314 -1.21687697 -87.701111 -69.721915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21686036--1.21687697) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dl = 105.822309999117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21686036--1.21687697) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dr = 105.822309999117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53072108--1.53067314) × cos(-1.21686036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346592481660197 × 6371000     		do = 105.858265189433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53072108--1.53067314) × cos(-1.21687697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346576901169855 × 6371000     		du = 105.85350650664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21686036)-sin(-1.21687697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346592481660197-0.346576901169855)×R²
    abs(-1.53067314--1.53072108)×1.55804903421708e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55804903421708e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55804903421708e-05×40589641000000     		ar = 11201.914367587m²