Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33601 / 101697
↖ ↑ ↗
← S 69.961381°
W 87.712097°		 ← 104.66 m → S 69.961381°
W 87.709350°		 →
↑
104.61 m
↓
↑
104.61 m
↓
S 69.962321°
W 87.712097°		 ← 104.65 m →
10 948 m²		 S 69.962321°
W 87.709350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256359100341797 y=0.775890350341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256359100341797 × 217)
    floor (0.256359100341797 × 131072)
    floor (33601.5)     		tx = 33601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775890350341797 × 217)
    floor (0.775890350341797 × 131072)
    floor (101697.5)     		ty = 101697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33601 / 101697 ti = "17/33601/101697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33601/101697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33601 ÷ 217
    33601 ÷ 131072     		x = 0.256355285644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101697 ÷ 217
    101697 ÷ 131072     		y = 0.775886535644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256355285644531 × 2 - 1) × π
    -0.487289428710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.53086489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775886535644531 × 2 - 1) × π
    -0.551773071289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.73344622716085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53086489} λ = -1.53086489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73344622716085))-π/2
    2×atan(0.176674499170259)-π/2
    2×0.174869944655854-π/2
    0.349739889311708-1.57079632675     		φ = -1.22105644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53086489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.712097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22105644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.961381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33601 KachelY 101697 -1.53086489 -1.22105644 -87.712097 -69.961381
    Oben rechts KachelX + 1 33602 KachelY 101697 -1.53081695 -1.22105644 -87.709350 -69.961381
    Unten links KachelX 33601 KachelY + 1 101698 -1.53086489 -1.22107286 -87.712097 -69.962321
    Unten rechts KachelX + 1 33602 KachelY + 1 101698 -1.53081695 -1.22107286 -87.709350 -69.962321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22105644--1.22107286) × R
    1.6420000000128e-05 × 6371000     		dl = 104.611820000815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22105644--1.22107286) × R
    1.6420000000128e-05 × 6371000     		dr = 104.611820000815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53086489--1.53081695) × cos(-1.22105644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342653452611041 × 6371000     		do = 104.655184327213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53086489--1.53081695) × cos(-1.22107286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342638026600889 × 6371000     		du = 104.650472826648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22105644)-sin(-1.22107286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342653452611041-0.342638026600889)×R²
    abs(-1.53081695--1.53086489)×1.54260101517534e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54260101517534e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54260101517534e-05×40589641000000     		ar = 10947.9228658226m²