Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3360 / 869
↖ ↑ ↗
← N 80.379054°
W 32.343750°		 ← 816.68 m → N 80.379054°
W 32.299805°		 →
↑
816.95 m
↓
↑
816.95 m
↓
N 80.371707°
W 32.343750°		 ← 817.29 m →
667 438 m²		 N 80.371707°
W 32.299805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41021728515625 y=0.10614013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41021728515625 × 213)
    floor (0.41021728515625 × 8192)
    floor (3360.5)     		tx = 3360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10614013671875 × 213)
    floor (0.10614013671875 × 8192)
    floor (869.5)     		ty = 869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3360 / 869 ti = "13/3360/869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3360/869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3360 ÷ 213
    3360 ÷ 8192     		x = 0.41015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 869 ÷ 213
    869 ÷ 8192     		y = 0.1060791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41015625 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1060791015625 × 2 - 1) × π
    0.787841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47507800118274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56450493} λ = -0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47507800118274))-π/2
    2×atan(11.8826339364534)-π/2
    2×1.48683773489727-π/2
    2.97367546979455-1.57079632675     		φ = 1.40287914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40287914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.379054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3360 KachelY 869 -0.56450493 1.40287914 -32.343750 80.379054
    Oben rechts KachelX + 1 3361 KachelY 869 -0.56373794 1.40287914 -32.299805 80.379054
    Unten links KachelX 3360 KachelY + 1 870 -0.56450493 1.40275091 -32.343750 80.371707
    Unten rechts KachelX + 1 3361 KachelY + 1 870 -0.56373794 1.40275091 -32.299805 80.371707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40287914-1.40275091) × R
    0.000128230000000062 × 6371000     		dl = 816.953330000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40287914-1.40275091) × R
    0.000128230000000062 × 6371000     		dr = 816.953330000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56450493--0.56373794) × cos(1.40287914) × R
    0.000766990000000023 × 0.167129194618173 × 6371000     		do = 816.67568806483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56450493--0.56373794) × cos(1.40275091) × R
    0.000766990000000023 × 0.167255619689355 × 6371000     		du = 817.293463326849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40287914)-sin(1.40275091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167129194618173-0.167255619689355)×R²
    abs(-0.56373794--0.56450493)×0.000126425071182074×R²
    0.000766990000000023×0.000126425071182074×6371000²
    0.000766990000000023×0.000126425071182074×40589641000000     		ar = 667438.270588126m²