Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3360 / 3141
↖ ↑ ↗
← S 68.815927°
E115.312500°		 ← 3 531.62 m → S 68.815927°
E115.400390°		 →
↑
3 529.09 m
↓
↑
3 529.09 m
↓
S 68.847665°
E115.312500°		 ← 3 526.57 m →
12 454 487 m²		 S 68.847665°
E115.400390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8204345703125 y=0.7669677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8204345703125 × 212)
    floor (0.8204345703125 × 4096)
    floor (3360.5)     		tx = 3360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7669677734375 × 212)
    floor (0.7669677734375 × 4096)
    floor (3141.5)     		ty = 3141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3360 / 3141 ti = "12/3360/3141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3360/3141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3360 ÷ 212
    3360 ÷ 4096     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3141 ÷ 212
    3141 ÷ 4096     		y = 0.766845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.53369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67664100111108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67664100111108))-π/2
    2×atan(0.187001058613076)-π/2
    2×0.184865910261283-π/2
    0.369731820522567-1.57079632675     		φ = -1.20106451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20106451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.815927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3360 KachelY 3141 2.01258279 -1.20106451 115.312500 -68.815927
    Oben rechts KachelX + 1 3361 KachelY 3141 2.01411677 -1.20106451 115.400390 -68.815927
    Unten links KachelX 3360 KachelY + 1 3142 2.01258279 -1.20161844 115.312500 -68.847665
    Unten rechts KachelX + 1 3361 KachelY + 1 3142 2.01411677 -1.20161844 115.400390 -68.847665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20106451--1.20161844) × R
    0.000553930000000147 × 6371000     		dl = 3529.08803000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20106451--1.20161844) × R
    0.000553930000000147 × 6371000     		dr = 3529.08803000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01411677) × cos(-1.20106451) × R
    0.0015339799999996 × 0.361365384428115 × 6371000     		do = 3531.61905249159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01411677) × cos(-1.20161844) × R
    0.0015339799999996 × 0.360848831226474 × 6371000     		du = 3526.5707849841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20106451)-sin(-1.20161844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361365384428115-0.360848831226474)×R²
    abs(2.01411677-2.01258279)×0.000516553201640679×R²
    0.0015339799999996×0.000516553201640679×6371000²
    0.0015339799999996×0.000516553201640679×40589641000000     		ar = 12454486.9529111m²