Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3360 / 1308
↖ ↑ ↗
← N 54.367758°
E115.312500°		 ← 5 693.55 m → N 54.367758°
E115.400390°		 →
↑
5 697.08 m
↓
↑
5 697.08 m
↓
N 54.316523°
E115.312500°		 ← 5 700.65 m →
32 456 818 m²		 N 54.316523°
E115.400390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8204345703125 y=0.3194580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8204345703125 × 212)
    floor (0.8204345703125 × 4096)
    floor (3360.5)     		tx = 3360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3194580078125 × 212)
    floor (0.3194580078125 × 4096)
    floor (1308.5)     		ty = 1308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3360 / 1308 ti = "12/3360/1308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3360/1308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3360 ÷ 212
    3360 ÷ 4096     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1308 ÷ 212
    1308 ÷ 4096     		y = 0.3193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3193359375 × 2 - 1) × π
    0.361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13514578300293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13514578300293))-π/2
    2×atan(3.11162713218885)-π/2
    2×1.2598463599751-π/2
    2.5196927199502-1.57079632675     		φ = 0.94889639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94889639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.367758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3360 KachelY 1308 2.01258279 0.94889639 115.312500 54.367758
    Oben rechts KachelX + 1 3361 KachelY 1308 2.01411677 0.94889639 115.400390 54.367758
    Unten links KachelX 3360 KachelY + 1 1309 2.01258279 0.94800217 115.312500 54.316523
    Unten rechts KachelX + 1 3361 KachelY + 1 1309 2.01411677 0.94800217 115.400390 54.316523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94889639-0.94800217) × R
    0.000894220000000057 × 6371000     		dl = 5697.07562000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94889639-0.94800217) × R
    0.000894220000000057 × 6371000     		dr = 5697.07562000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01411677) × cos(0.94889639) × R
    0.0015339799999996 × 0.582580428535012 × 6371000     		do = 5693.55070984184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01411677) × cos(0.94800217) × R
    0.0015339799999996 × 0.583306993438132 × 6371000     		du = 5700.65141888953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94889639)-sin(0.94800217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582580428535012-0.583306993438132)×R²
    abs(2.01411677-2.01258279)×0.000726564903119731×R²
    0.0015339799999996×0.000726564903119731×6371000²
    0.0015339799999996×0.000726564903119731×40589641000000     		ar = 32456817.7412591m²