Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 336 / 146
↖ ↑ ↗
← N 82.261699°
W120.937500°		 ← 2 631.84 m → N 82.261699°
W120.761719°		 →
↑
2 635.81 m
↓
↑
2 635.81 m
↓
N 82.237994°
W120.937500°		 ← 2 639.85 m →
6 947 586 m²		 N 82.237994°
W120.761719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164306640625 y=0.071533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164306640625 × 211)
    floor (0.164306640625 × 2048)
    floor (336.5)     		tx = 336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.071533203125 × 211)
    floor (0.071533203125 × 2048)
    floor (146.5)     		ty = 146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 336 / 146 ti = "11/336/146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/336/146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 336 ÷ 211
    336 ÷ 2048     		x = 0.1640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 146 ÷ 211
    146 ÷ 2048     		y = 0.0712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1640625 × 2 - 1) × π
    -0.671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11075756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0712890625 × 2 - 1) × π
    0.857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.6936702634502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11075756} λ = -2.11075756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6936702634502))-π/2
    2×atan(14.7858443976166)-π/2
    2×1.50326690901295-π/2
    3.0065338180259-1.57079632675     		φ = 1.43573749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11075756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43573749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.261699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 336 KachelY 146 -2.11075756 1.43573749 -120.937500 82.261699
    Oben rechts KachelX + 1 337 KachelY 146 -2.10768960 1.43573749 -120.761719 82.261699
    Unten links KachelX 336 KachelY + 1 147 -2.11075756 1.43532377 -120.937500 82.237994
    Unten rechts KachelX + 1 337 KachelY + 1 147 -2.10768960 1.43532377 -120.761719 82.237994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43573749-1.43532377) × R
    0.00041371999999984 × 6371000     		dl = 2635.81011999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43573749-1.43532377) × R
    0.00041371999999984 × 6371000     		dr = 2635.81011999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11075756--2.10768960) × cos(1.43573749) × R
    0.00306796000000009 × 0.134648612232741 × 6371000     		do = 2631.83816073249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11075756--2.10768960) × cos(1.43532377) × R
    0.00306796000000009 × 0.135058553119377 × 6371000     		du = 2639.85085429986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43573749)-sin(1.43532377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134648612232741-0.135058553119377)×R²
    abs(-2.10768960--2.11075756)×0.000409940886636095×R²
    0.00306796000000009×0.000409940886636095×6371000²
    0.00306796000000009×0.000409940886636095×40589641000000     		ar = 6947585.72675935m²