Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33587 / 34830
↖ ↑ ↗
← S 11.253837°
E  4.498901°		 ← 599.11 m → S 11.253837°
E  4.504395°		 →
↑
599.07 m
↓
↑
599.07 m
↓
S 11.259225°
E  4.498901°		 ← 599.09 m →
358 900 m²		 S 11.259225°
E  4.504395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512504577636719 y=0.531471252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512504577636719 × 216)
    floor (0.512504577636719 × 65536)
    floor (33587.5)     		tx = 33587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531471252441406 × 216)
    floor (0.531471252441406 × 65536)
    floor (34830.5)     		ty = 34830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33587 / 34830 ti = "16/33587/34830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33587/34830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33587 ÷ 216
    33587 ÷ 65536     		x = 0.512496948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34830 ÷ 216
    34830 ÷ 65536     		y = 0.531463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512496948242188 × 2 - 1) × π
    0.024993896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07852064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.06292724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.197691774033112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07852064} λ = 0.07852064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197691774033112))-π/2
    2×atan(0.820622751401924)-π/2
    2×0.687189905964241-π/2
    1.37437981192848-1.57079632675     		φ = -0.19641651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07852064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.498901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19641651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.253837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33587 KachelY 34830 0.07852064 -0.19641651 4.498901 -11.253837
    Oben rechts KachelX + 1 33588 KachelY 34830 0.07861652 -0.19641651 4.504395 -11.253837
    Unten links KachelX 33587 KachelY + 1 34831 0.07852064 -0.19651054 4.498901 -11.259225
    Unten rechts KachelX + 1 33588 KachelY + 1 34831 0.07861652 -0.19651054 4.504395 -11.259225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19641651--0.19651054) × R
    9.40300000000227e-05 × 6371000     		dl = 599.065130000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19641651--0.19651054) × R
    9.40300000000227e-05 × 6371000     		dr = 599.065130000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07852064-0.07861652) × cos(-0.19641651) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.980772213170731 × 6371000     		do = 599.106157958171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07852064-0.07861652) × cos(-0.19651054) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.98075385831589 × 6371000     		du = 599.094945867926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19641651)-sin(-0.19651054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980772213170731-0.98075385831589)×R²
    abs(0.07861652-0.07852064)×1.83548548409185e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.83548548409185e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.83548548409185e-05×40589641000000     		ar = 358900.250279393m²